La complexité des simplifications

Simplifier une fraction, c'est quoi? Voici des exemples de propositions issues de différents cours:

• " Définition : simplifier une fraction, c'est la transformer en une fraction égale mais dont le numérateur et le dénominateur sont les plus petits possibles. "
• " Règle : si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, alors on obtient une fraction égale. On utilise cette règle pour simplifier les fractions. "
• " Définition : simplifier une fraction, c'est factoriser son numérateur et son dénominateur par leur PGCD. "
• " Simplifier une fraction, c'est écrire cette fraction avec des plus petits nombres. 

Ces propositions montrent bien comme il est délicat de résumer en peu de mots l'idée toute simple de simplification de fractions. Je ne m'y risquerai par moi-même: en classe, on dialogue, on questionne, on reformule et on illustre, et tout est bien plus facile que si on doit élaborer un cours écrit qui se suffise à lui-même, pour des enfants de fin de primaire ou de début de collège.

Mais en attendant, j'ai un problème:

Extrait d'une copie de 3ème:

Il est tout de même frappant qu'un élève de troisième puisse parvenir à ce niveau sans avoir compris que simplifier une fraction passe par la division. Cet élève, dont le reste de la copie témoigne de beaucoup de bonne volonté, simplifie au sens de " écrire moins de chiffres ". Il reproduit un schéma classique : je barre en haut un chiffre, je barre le même en bas. Et il applique, croyant bien faire, mais n'a pas compris.

Comme c'est une copie anonymée, je n'ai pas pu discuter avec l'élève qui a écrit cette égalité. C'est dommage, car j'aurais aimé qu'il m'explique quel schéma il a suivi, quel degré de foi en sa démarche il avait. Je suppose qu'il sait que 268 et 2x6x8 ne représentent pas le même nombre. C'est plutôt le sens de la simplification qui est à reprendre, et peut-être avant cela la signification de la fraction. Difficile de réaliser ces objectifs sous forme d'annotations sur une copie.

C'est en tout cas une nouvelle preuve, s'il en était besoin, qu'apprendre sans comprendre est totalement absurde et que les "recettes" mécaniques sont nuisibles (du style "tu passes de l'autre côté, tu changes de signe" ou "tu multiplies par 100 donc tu décales la virgule deux fois"). Mais revenir toujours au sens demande beaucoup de rigueur, de la part des profs et des élèves. Ce n'est pas reposant.

Cela me rappelle enfin une conversation récente avec une élève de seconde, qui réussit bien en mathématiques du point de vue chiffré. Cette jeune fille, dotée pourtant d'un caractère bien trempé, me répond, à la question " D'accord, mais pourquoi fais-tu ça dans ton calcul? " : " Parce que la prof elle veut qu'on fasse comme ça... " puis, vaguement agacée : " Chais pas, moi, il y a une raison en fait? ".

Oui. Il y a une raison. Toujours.