Elections et logarithme

Un article de l'express du 19 avril 2014 s'intéresse aux résultats des élections et à leur éventuelle modélisation mathématique. C'est un classique, et on pourrait simplement considérer l'exercice trop incertain, après le pseudo-fiasco des sondages de 2002 au moment de l'élection présidentielle (à voir un TP intéressant élaboré par un collègue, ici, que je conseille aux élèves de seconde, et un article de Bernard Guibert là). Pourtant, le physicien Christian Borghesi propose d'utiliser des lois mathématiques pour expliquer certains comportements électoraux observés à grande échelle. 

En nous basant sur l'étude empirique d'une vingtaine d'élections municipales dans dix pays différents, nous avons remarqué que la statistique de la participation électorale suivait une loi mathématique simple, en fonction du nombre d'habitants des communes :

 la participation moyenne = Constante - A x ln(N), où N est le nombre d'inscrits de la commune. 

Il existe une constante C qui dépend de chaque élection et que l'on ne peut anticiper. Elle permet au taux de participation moyen de s'étendre de 85%, comme en Autriche, jusqu'à 20%, comme au Costa Rica. 

Globalement, la participation va être élevée pour les petites villes puis diminuer avec la taille de la ville, ce qui est "qualitativement" connu depuis très longtemps de la science politique. Le plus troublant dans ce résultat réside dans le fait que la pente (le coefficient A) avec laquelle la participation diminue est très souvent la même, et ce malgré de grandes différences entre pays. Ce coefficient (A est proche de 1/3) se retrouve également quand on étudie la dispersion des villes autour de la moyenne. 

Ces découvertes ne permettent toutefois pas de prédire des résultats. Ce travail particulier permet de dégager des régularités quasi universelles, comme on le fait habituellement en physique, avant d'essayer d'extirper une théorie sous-jacente. En revanche, en ce qui concerne l'actualité (les municipales de 2014), il y a eu une rupture de régularité pour les villes comprises entre 1000 et 10 000 habitants. Et comme toute irrégularité, elle devient significative lorsqu'elle se produit dans un océan de régularités ... 

Il faut donc prendre cette étude comme un questionnement et non comme un outil de prédiction. Christian Borghesi le souligne lui-même à plusieurs reprises dans l'interview. Le fait est que pouvoir résumer les résultats électoraux du monde entier par une unique fonction aurait quelque chose d'un peu frustrant...