Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

Etienne Ghys

C'est le titre (volontairement provocateur) d'un article d'Etienne Gys publié le 18 février 2015 sur IdM. C'est un article qui me plaît beaucoup, mais vraiment beaucoup.

La question que se pose Etienne Gys est celle que se posent tous ceux qui sont concernés par l'enseignement des mathématiques ( à commencer par les élèves ) : " Que faut-il enseigner aujourd'hui ? ", reformulé fréquemment par les élèves sous la forme " A quoi ça sert ce qu'on apprend en maths ? ". Cette question est légitime et ne doit pas agacer l'enseignant. Un élève qui la pose fait preuve de réflexion et de recul. Il a le droit de se la poser, et nous, profs de maths, sommes probablement l'interlocuteur le plus naturel pour en discuter. Ce qui est amusant, c'est plutôt que les élèves trouvent d'autres disciplines comme évidemment utiles, alors qu'elles ne le sont pas davantage. Au hasard, prenons l'exemple de l'histoire. Lorsqu'on demande aux élèves si selon eux l'histoire est plus utile que les maths, ils répondent très souvent " Oui ! ". Mais pourquoi ? "Parce que l'histoire, c'est de la culture " arrive en tête ( on pourrait supposer qu'alors les maths non, outch ) et vient ensuite, mais loin derrière en fréquence " Parce que connaître l'histoire, ça permet de comprendre le monde d'aujourd'hui ". Ce qui est vrai, mais les maths aussi. Il y a toujours un petit flottement lorsqu'on fait remarquer à des collégiens que sans les maths, ni internet ni téléphone portable, ni un tas d'autres choses qu'ils ressentent comme moins directement vitales, à tort.

Mais c'est un autre débat.

J'en reviens à Pythagore et la poubelle.
 " Nous conviendrons tous que le but principal de l'enseignement des mathématiques au collège n'est pas de former des chercheurs scientifiques.
Que faut-il enseigner aujourd'hui ? Un élève qui arrive au baccalauréat a subi deux mille heures de cours de mathématiques. Il ne faut pas se cacher la face : le résultat est un échec. "
Monsieur Ghys prend l'exemple du théorème de Pythagore : alors que le nom de Pythagore est connu par une grande partie de la population, le contenu de son théorème l'est de façon beaucoup plus incertaine, et sa démonstration est connue de façon marginale. Pourtant, à peu près tout le monde y a "eu droit". Alors : "Pourquoi ce bijou mathématique passe-t-il aux oubliettes dès que possible ? "

Dédicace à Sullivan...

C'est vrai, le théorème de Pythagore, comme environ tout le reste, on ne s'en sert pas tous les jours. Selon Etienne Gys, le seul intérêt de l'enseigner est de le démontrer : "L'un des rôles principaux de l'enseignement des mathématiques est d'apprendre aux élèves à distinguer une vérité indiscutable d'un point de vue, d'une opinion ou d'une croyance. Nous pouvons avoir des idées qui divergent sur ceci ou sur cela, mais les mathématique sont l'un des moyens de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables. Un antidote au dogmatisme dont nous avons bien besoin."
Je suis évidemment d'accord avec tout ceci, et c'est fort clairement exposé. Mais j'ajouterai tout de même qu'enseigner certaines notions pourraient avoir comme intérêt supplémentaire de montrer quel cheminement ont suivi les hommes pour élaborer telle ou telle théorie, comment la recherche mathématique et scientifique a pu progresser, pour mettre en valeur la progression, la continuité, l'histoire de la science, des inventions, la façon dont elle est terriblement humaine, tournée vers l'homme, construite par des "gens". Mais pour cela il faudrait aussi repenser les programmes, laisser tomber tout un tas de choses, et accepter de passer du temps à jouer au détective historico-mathématique.
Finalement, ces deux points de vue ont au moins un objectif commun : apprendre aux jeunes à chercher, en observant comment on a cherché jusqu'ici, et en faisant démontrer ce qui est à leur portée.

Dans la fin de son article, Etienne Ghys fait une proposition très alléchante : il propose une " « nouvelle géométrie » qu’on pourrait aborder à l’école et qui serait plus proche des préoccupations des élèves : la géométrie des réseaux. C’est devenu une banalité : nous vivons dans des réseaux multiples, internet, Facebook, la SNCF, Skype, etc. Les adolescents (et autres) comptent leurs « amis » sur Facebook. Les grands réseaux ont des géométries qui n’ont rien d’euclidien. Les mathématiques qui sont impliquées sont variées : théorie des graphes et combinatoire bien sûr, mais aussi probabilités, sans oublier les aspects informatiques et algorithmiques. Je ne propose pas bien entendu un cours structuré sur la théorie des graphes au collège, mais il me semble qu’on peut aborder quelques points très simples et très instructifs. Plutôt que d’obliger les collégiens à apprendre par cœur, et sans explication, que le volume d’une boule de rayon R est 43πR3, ne serait-il pas préférable de les faire réfléchir à la croissance exponentielle des boules dans les réseaux sociaux (combien y a-t-il d’amis des amis de mes amis ?). Comment se propage l’information (ou les fausses informations) à l’intérieur d’un réseau ? Qu’est-ce que le phénomène du petit monde ? Qu’est-ce qu’un triangle rectangle dans le réseau SNCF ? Quel algorithme Google map utilise-t-il pour me proposer le meilleur itinéraire pour aller de A à B ? Évidemment, de la même manière qu’un théorème sans démonstration est une coquille vide, un algorithme requiert une preuve et on ne peut se contenter de l’utiliser aveuglément. "

J'adorerais ça, je crois...