Dis, c'est quoi un nombre ?

C'est une question bien philosophique que celle-là. Deux vidéos récentes de Numberphile abordent cette question et ont pour intitulé Les nombres existent-ils ?

Ces deux vidéos abordent d'une façon un peu différente les représentations que nous pouvons nous faire de l'existence des nombres.

Par exemple, on peut considérer que les nombres existent dans notre imagination, comme Sherlock Holmes existe dans notre imagination. Mais la différence est que quelqu'un a un jour inventé Sherlock, alors que personne n'a inventé le nombre 7 ; il a toujours existé sept objets, même lorsqu'on ne les associait pas explicitement ou symboliquement au nombre 7. Cela amène à la question suivante : les nombres existent-ils sans leur symbolisme ? Doivent-ils être exprimables pour exister ?



Dans la première vidéo, l'intervenant explique qu'on peut voir les nombres comme des "choses" certes sans présence physique, mais objectives : 31 est compris de la même façon par tout le monde. (Personnellement je n'en suis pas certaine) Pourtant on ne peut pas rencontrer 31 dans la rue, l'observer, lui parler, l'écouter, le toucher, comme les objets concrets qui nous entourent.

 La plupart des objets de notre environnement prennent existence dans notre esprit par un ensemble de caractéristiques que nous acquérons en interagissant avec eux. Pas les nombres.



Dans la deuxième vidéo, l'intervenant nous présente trois façons d'envisager les nombres :

Le platonisme, selon lequel les nombres sont des objets abstraits, mais pourvus d'une véritable existence, en dehors de l'espace et du temps. C'est aussi de cela que parle la première vidéo.

Le nominalisme, qui se rapporte aux objets matériels, au dénombrement : les nombres existent puisqu'on peut leur associer des collections d'objets. Mais alors que dire des nombres i ou pi ? Comment qualifier les nombres qui ne sont pas réels (au sens de l'ensemble des nombres réels), ou non exprimables grâce à une suite finie de symboles ? Pour un platonisme, pas de problème : il s'agit juste d'un autre nombre, c'est tout. Mais pour un nominaliste, c'est embêtant.

Le fictionalisme est ma découverte du jour. Je ne connaissais pas, et je dois dire que l'idée me séduit. Je n'ai pas dit qu'elle me convainc, attention. Mais elle m'est intellectuellement attirante. Selon le fictionalisme, le discours mathématique est faux. Il est utile, mais faux. Les nombres n'existent pas. Ils ne sont qu'une histoire bien pratique pour vivre dans notre monde. Les fictionalistes utilisent donc des "trucs" dont ils pensent qu'ils n'existent pas. Selon eux, la réussite d'un projet (comme lancer un satellite tourner autour de la Terre, ce qui utilise des tas de nombres) n'indique pas forcément une vérité.
L'intervenant propose un parallèle avec la Bible : on peut considérer que la Bible raconte des faits imaginaires, qui n'ont pas existé. Pour autant, on peut l'utiliser pour en extraire des principes moraux qui seront efficaces dans notre réalité. Peu importe que ce qui est raconté soit vrai, cela peut quand même être utile.