Histoires de gâteaux

J'avais donné un devoir maison à mes élèves de troisième, juste avant les vacances. Parmi les exercices à résoudre, un exercice de brevet :

Je trouve cet exercice intéressant, parce qu'il parle du sens de le fraction comme proportion, mais je le trouve difficile : les deux tiers des gâteaux restants, c'est compliqué. On voit ça dès la cinquième, mais c'est souvent problématique pour les élèves. Et en même temps, je n'aimais pas trop, dans cet exercice, la question 1, car j'avais le sentiment qu'elle éviterait aux élèves de réfléchir pout la question 2.
De ce point de vue, je suis tout à fait rassurée : personne n'a fait le lien directement. Beaucoup d'élèves ont même été amenés à refaire le calcul de la question 1, sans s'en apercevoir. Parfois ils l'ont bien réalisé alors que la réponse de la question 1 était fausse.

Alors, qu'ont fait mes élèves ? Voici quelques productions.

Impec. Rapide, efficace.

Voilà, erreur d'interprétation de "deux tiers de...", qui amène cet élève
à soustraire. Obtenir un résultat négatif n'a pas l'air de le gêner et il arrive à conclure
avec un nombre de gâteaux réaliste. 

Je pensais rencontrer beaucoup de productions de ce genre, dans lesquelles
l'élève a trouvé, sans doute par essais-erreurs, le bon nombre de gâteaux, et
vérifie. Ca passe en troisième, mais dans l'objectif de la seconde, j'essaie d'amener
les élèves à résoudre plutôt qu'à vérifier.

Plusieurs élèves ont eu du mal à distinguer proportion de gâteaux et nombre de
gâteaux, parfois juste dans l'expression écrite, parfois dans la signification des nombres.

Même style que le précédent. La première égalité est une facilité d'écriture mais
elle est fausse de façon stricte.

Un élève a produit cette solution qui me semble remarquable : il a compris
ce que signifie concrètement la division de fractions.

Un élève visuel, qui parvient bien à exposer sa démarche avec son dessin.

Cette élève a dû se représenter mentalement la situation de façon concrète pour résoudre.
A-t-elle choisi au départ, intuitivement ou d'après son expérience, un nombre
de compartiments de la boîte de gâteaux qui l'amène à la solution ?

Même solution, avec un dessin plutôt qu'une explication. A nouveau une visuelle.

Remarquable encore. Le sens de x n'est pas défini au préalable, mais
une telle capacité de modélisation, en début de troisième, est rare. Quant à l'aisance
en calcul littéral, elle l'est tout autant. Dommage, à la fin, boum badaboum : x=0,25.

Un petit dessin, insuffisant du point de vue de la mise en forme, mais
suffisant pour montrer que cet élève a compris. Il revient à la représentation
de la proportion comme il l'a apprise dans les petites classes, ce qui est tout à fait efficace.

 Je comptais sur cet exercice pour m'en apprendre sur les schémas mentaux de mes élèves. C'est le cas, et je suis contente de constater que tous se sont lancés, et qu'ils n'ont pas hésité à s'exprimer de la façon qui leur semble la plus efficace.