Ah non ça y est je l'ai dans la tête !

C'est ici.

Démontrer c'est compliqué, corriger c'est varié

Exercice donné en recherche en classe et à rédiger en devoir maison, au niveau quatrième :

                

Consigne donnée, répétée, martelée et ressassée : rédigez votre réponse, et pas seulement en l'habillant avec des mots. Expliquez, argumentez.

D'abord, qu'est-ce que j'attendais ?
- une figure propre, codée.
- une structure visible, du style "je sais que ...", "or ...", j'en conclus que ...". Ou moins lourd et rigide, mais pas tout en vrac.
- mathématiquement, je voulais voir écrit que la hauteur et la médiatrice sont par définition perpendiculaires au segment reliant B à C. J'attendais qu'on me rappelle que si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont parallèles, et puis la conclusion.

Qu'ai-je obtenu ?
Des copies avec du contenu, ce qui déjà était bien. Mais démontrer est décidément un exercice complexe, surtout pour prouver "des trucs qui se voient trop bien".

Des exemples concrets de productions plus ou moins réussies :

Ceux qui se sont trompé d'ex. Fallait résoudre le n°9.

Ceux qui ont l'idée mais ne la développent pas :

Ici, l'élève a soigneusement rédigé. Il y a un argument mais c'est incomplet. Elle a eu l'impression de répondre à mes consignes car elle a "écrit des mots avec une phrase". Comprendre que démontrer n'est pas juste écrire en français, c'est difficile.

Ceux qui font des lapsus qui rendent l'ensemble bancal :

Ceux qui ont tracé un triangle particulier et que cela a induit en erreur :

Ceux qui manquent trop de précision, même si il y a de l'idée :

Ceux qui sont allés chercher la propriété qui va bien :

J'aurais juste aimé une référence, même évoquée, à la définition de la hauteur et de la médiatrice pour justifier de la perpendicularité des deux droites au même segment.

Ceux pour qui rédiger, c'est dur dur :

Ceux qui n'ont pas (encore) passé le cap de l'affirmation fondée sur l'observation:

Ceux qui ont compris ce que j'attends et/ou ce qui est nécessaire :

Je suis contente, à l'issue de la correction de ce DM : dans cette classe, es élèves cherchent de façon personnelle. Certes, c'est perfectible, il faut reprendre tout un tas de choses. Mais au moins, j'ai corrigé des copies différentes et ils travaillent avec honnêteté (ce qui n'est malheureusement pas le cas de toutes mes classes...)

Comment mon grand dys s'est mis à écrire

Dans une de mes classes, j'ai un élève qui souffre d'une dyslexie et d'une dyspraxie vraiment sévères. Réaliser une figure, écrire une phrase de conclusion, tout est compliqué, voire douloureux. jusqu'ici, pas moyen de le faire franchir le pas. A l'oral il participe depuis le début de l'année, et de façon intéressante, très originale mais souvent aussi très juste, mais à l'écrit, il ne produisait pas du tout ce que j'attendais de lui.
Et là, lors de la dernière évaluation, il a réalisé un travail franchement extra.

Pourquoi ?

La forme de l'évaluation (l'interro dont tu es le héros) l'a amusé. Elle a permis de capter l'attention de ce très gros consommateur de jeux vidéos, qui ballade avec lui une imagination fertile et une bonne dose d'originalité. Pour la première fois de l'année, je l'ai vu concentré et vraiment en situation de projet pendant toute une heure.

Ensuite, il a osé. Il m'a demandé trente-six fois si il avait le droit décrire "comme il pensait", avec "ses mots", et "sûrement plein de fautes". Mais au final, il réalise une belle performance et je suis ravie. Maintenant, il va falloir trouver le moyen de poursuivre ces progrès.

Zapper de thème, de type de questions, rencontrer des consignes farfelues l'a nourri. Lui qui passe son tempes ébullition intellectuelle et psychologique a trouvé de quoi se satisfaire.

Enfin, le fait qu'une partie des questions soient sous forme de QCM avec une case à cocher l'a évidemment aidé. C'est normal vu ses handicaps.

Alors concrètement, que cela a-t-il donné ? Petite analyse de ses écrits :

Pour un enfant comme cet élève, corriger les fautes d'orthographe n'est pas très productif. Je le fais souvent sur les copies, mais dans donc cas je vais juste m'énerver pour rien (il a un handicap réel, il ne le fait vraiment pas exprès) et le complexer. Je veux qu'il écrive, je dois donc faire un effort...

Y compris parfois un vrai effort de décryptage :

Bon là, dans cet exemple précis, j'ai mis du temps à comprendre. En fait il explique que le triangle est en équilibre en se référant à l'idée de poids. Il m'avait formulé une remarque au moment de la leçon à ce sujet un peu dans ces termes, et cela m'a aidée à comprendre. Avec du mal.

Lorsque je demande aux autres élèves une explication construite, j'accepte de cet élève une explication non rédigée et imagée.

Sur cet extrait, on constate de façon claire que le niveau de langue de l'élève est assez élevé. Le verbe "qualifier" ne figure pas à tous les vocabulaires élèves. Il a du mal à écrire, c'est tout de travers et phonétique, mais il sait peut-être plus de choses que beaucoup d'autres.

Là, belle surprise. Mon élève a dû prendre considérablement sur lui pour réaliser une figure aussi propre. Elle est même plus propre que beaucoup d'autres. Je vais pouvoir lui affirmer qu'il est bien capable d'un travail impeccable. 

Quelque extraits encore, illustrations d'une orthographe alternative  :

Et le mot de la fin :

L'interro dont vous êtes le héros

Cette semaine, lorsque j'ai pu (avec bonheur !) reprendre le travail, nous sommes rentrés dans une phase d'évaluation avec toutes mes classes. Une en particulier est d'une forme différente, en classe de quatrième : j'ai élaboré une "interro dont tu es le héros".

Le principe est exactement le même que celui des livres dont on est le héros : on commence par la question 1, et cette question propose des choix qui aiguillent vers une autre question, différente selon la réponse fournie. Si la réponse est la bonne ou si l'élève pense avoir réussi, il part vers une question plus complexe ou sur la compétence suivante dans la liste des compétences à tester. Si l'élève se trompe, il est envoyé vers une question qui lui propose une piste de remédiation, ou qui l'interroge de façon plus simple ou plus décomposée. Ainsi, les parcours sont tous progressifs.

Que dire de cette évaluation ?

- c'est compliqué à élaborer. Il faut réfléchir aux progressions et bien penser à quelles compétences sont à tester absolument, sous quelle forme, etc. J'avais bien préparé mon sujet car aucune erreur n'a embêté les élèves. Et en effet, ils ont suivi des voies très diverses. Je craignais que le timing ne corresponde pas au format des 55 minutes, mais si.
- les élèves se sont approprié facilement le principe, c'est assez bluffant. Je leur avais expliqué la veille et cela me semblait être bien passé. Ils avaient même l'air joyeusement curieux de voir ce que cela donnerait.
- plusieurs élèves ont perçu par eux-mêmes les avantages pédagogiques : s'adapter au niveau de chacun , rebondir sur ses difficultés, emmener plus loin ceux qui le peuvent.
- les contenus sont très très satisfaisants. Je suis donc très très satisfaite. Certains élèves ont fait beaucoup mieux que d'habitude, et beaucoup ont répondu à davantage de questions.
- c'est l'enfer à corriger. C'est trèèèèès long.
- pendant l'évaluation, les élèves avaient le sourire. J'avais glissé deux ou trois questions folkloriques (j'y reviendrai bientôt) et le principe de l'évaluation dont tu es le héros les a amusés. C'était très agréable de les voir épanouis en travaillant aussi sérieusement. Quelques-uns ont franchement rigolé à la lecture de certaines questions, qui n'étaient accessibles qu'aux plus rapides ou performants : c'était mes cerises sur leur gâteau.

Au final, je me suis bien amusées, les élèves aussi, et surtout j'ai un sentiment tout propre et net de bon travail.
A réitérer donc, mais en ayant conscience du boulot en amont et en aval...

Absence

Je serai absente jusqu'à mercredi (inclus) du collège, pour des raisons de santé. J'ai essayé de prévenir tous les parents de mes élèves, de sorte que ceux qui commencent avec moi demain ne se déplacent pas pour rien, mais je double ici mon message.

Les évaluations prévues n'auront pas lieu le jour de mon retour, mais le suivant, de façon que nous puissions réactiver un peu tout ça. Mais ce n'est pas une raison pour ne pas relire les leçons et refaire quelques exos, histoire de maintenir les neurones en état !

A bientôt...

Ibn Al Haytham, scientifique prolifique

Sur le site de l'Humanité, un article du 16 janvier 2015 présente un savant que je ne connaissais pas :
Ibn Al Haytham, mathématicien et physicien arabe du XIe siècle.

Né en 965 dans la ville irakienne de Bassora, Ibn Al Haytham étudia l'arabe, la philosophie, la physique, les mathématiques et l'astronomie. Il s'imprégna de nombreux travaux scientifiques (en particulier il fut assigné à résidence et privé de ses biens après avoir contrarié le calife Al Hâkim dans la réalisation d'un projet de régulation des crues du Nil. Pour échapper à des sanctions plus sévères, il simula la folie et dut attendre la mort du calife pour retrouver officiellement la raison. Mais au moins, cela lui laissa du temps pour étudier).

L'article de l'Humanité explique que l’essentiel des travaux scientifiques d’Ibn Al Haytham concerne la physique (particulièrement l'optique), les mathématiques et l’astronomie (il fut le premier à établir que la lumière de la Lune vient du Soleil et à contredire Ptolémée qui affirmait que l’œil émettait de la lumière), mais aussi la philosophie, la théologie spéculative et la médecine.

La diversité des travaux du monsieur force le respect :

En mathématiques, il est l’auteur de 64 écrits plus ou moins volumineux. Seuls 23 d’entre eux nous sont parvenus. Plus des deux tiers traitent de géométrie et le reste est consacré à la science du calcul, à l’algèbre et à la théorie des nombres. En géométrie plane et solide, ses travaux prolongent les apports d’Euclide avec de nouvelles contributions. En géométrie de la mesure, ses contributions s’inscrivent dans la tradition d’Archimède, en l’enrichissant par de nouvelles méthodes pour le calcul des volumes de la sphère et des paraboloïdes de révolution. Il a également publié des résultats originaux en théorie des nombres et sur les systèmes d’équations. En plus de la résolution de nombreux problèmes mathématiques et physiques, Ibn Al Haytham a réfléchi sur les méthodes et les outils théoriques qui lui ont permis de résoudre ces problèmes. Il a analysé les différentes formes de preuves qui interviennent dans l’établissement d’un résultat.

Un site est dédié à Ibn Al Haytham ici, avec un extrait de série qui le met en scène.

Kinétique artistique cinétique mathématiquetiquetique

Sur Les curiosités de Titam, un article présente le travail de John Edmark, designer et conférencier au département de l'Art et de l'Histoire de l'Art à l'université de Stanford. Il utilise les mathématiques dans sa création artistique, son "art cinétique" (l'art cinétique, comme son nom l'indique, repose sur le mouvement). Le Huffigton Post lui consacre aussi un article qu'on peut trouver ici. D'autres oeuvres de l'artiste sont visibles là.

L'exemple qui suit est une sculpture nommée "helicone". Chaque bras de l'objet effectue une rotation maximum de 68.75 degrés. John Edmark utilise le laser pour obtenir des découpes suffisamment précises.

Ce qu'on apprend à l'école en mathématiques de 11 à 18 ans

L'académie de Créteil a réalisé un travail remarquable et utile : un tableau synoptique des acquisitions mathématiques des élèves, de leur entrée en sixième alors qu'ils sont encore petits, jusqu'à leur sortie de terminale alors qu'ils sont trèèès grands.

Le document est clair, rapidement lisible et permet un regard différent sur les programmes.

 Une présentation spiralée parlera particulièrement à mes étudiants de l'ESPE :

La concertation nationale sur le numérique pour l'éducation

Une consultation a été lancée ces jours-ci par le ministère de l'Education Nationale sur l'utilisation, les objectifs et les avantages du numérique.
Comme je suis bloquée à la maison pour deux jours avec un gros microbe dans les bronches, peu de vivacité intellectuelle et un appareil pour respirer, je suis un peu désorientée. Alors j'ai pris le temps d'y répondre. Au mois, me suis-je dit, je vais comprendre de quoi il s'agit et me rendre utile.

"Comprendre de quoi il s'agit" ? Heu oui, j'ai compris toutes les questions. Leur intitulé, tout du moins. Là où je ne comprends pas, c'est à quoi ça sert, justement. "Me rendre utile", donc, non. Certainement pas. Le questionnaire est une succession d'affirmations auxquelles il est parfaitement impossible, pour la grande majorité, de répondre autre chose que "tout à fait d'accord". Des évidences du style "Il faudrait que les élèves puissent être équipés en classe d'un matériel numérique fonctionnel" ou "L'utilisation du numérique permet aux élèves d'accéder plus facilement à des bases d'informations"... Objectivement, qui répond "Pas du tout d'accord" à ce genre d'interrogations ? Et lorsque ce ne sont pas des truismes, répondre autre chose que "Tout à fait d'accord" exprimerait juste une certaine volonté de nuire à nos jeunes, ou une indifférence totale à leur réussite.

Alors à quoi ça sert ? Quand notre institution cessera-t-elle de brasser du vent et de balancer des sommes considérables par les fenêtres, juste pour paraître ?

Parce qu'en attendant, les tablettes dont j'ai besoin pour mon projet, je n'ai aucun espoir d'en avoir pour ma classe. Tout le monde est d'accord que c'est une demande cohérente, motivée, raisonnable. Mais personne ne peut m'en équiper. Et même une tablette pour moi en classe, c'est à moi qu'il revient de l'acheter, même si c'est pour un usage professionnel.

Forcément, ça m'agace.

Dans la classe de madame Mahiet

Une jeune et pétillante collègue anime un blog qui présente ses travaux, ici. En particulier, elle expose des travaux d'élèves très chouettes sur le thème des patrons de solides, et elle présente un jeu qu'elle a conçu et qui me paraît vraiment intéressant.
Elle a fabriqué ses cartes (qu'elle va sans doute bientôt montrer sur son blog), bien pensé le fonctionnement et la mise en oeuvre du jeu, et fait le lien avec les programmes officiels.
Elle fait jouer ses élèves par équipes, en formant plusieurs groupes qui chacun disposent de la trousse de jeu, qui contient tout le matériel nécessaire. Le règles sont faciles à appréhender, et pourtant riches, avec des compétences très diverses à mobiliser. Elle a prévu de nouvelles cartes qu'elle intègrera à mesure que son programme avancera.
Les élèves sont demandeurs et manifestement assez autonomes. C'est un belle illustration de l'idée d'apprendre par le jeu, de transmettre le respect des règles, le travail en groupe, la socialisation.

Ma prof m'a oublié des points... il y a vingt ans.

Vendredi, séance bibliothèque de classe de quatrième : je sélectionne un certains nombres de livres, de BD de de vieux cahiers de mathématiques et je les propose aux élèves. Ceux qui en ont envie ont le droit d'emprunter le document, avec pour consigne de le lire et de m'en ramener une critique. Pas un résumé, mais leur avis personnel. Et s'ils n'arrivent pas à le lire en entier, la consigne est de m'expliquer ce qui les a bloqués.
Mon idée est de faire circuler ces documents de façon à obtenir des critiques différentes, si possibles contradictoires mais argumentées. Nous verrons ce que cela donnera.

Parmi les documents, j'ai glissé mon cahier de 4ème-3ème. Je savais bien que ce cahier attirerait les élèves, et j'ai demandé qu'ils relèvent ce qui les étonne, les différences qu'il perçoivent dans le fond et la forme des notions enseignées. Dans mon vieux cahier, il y avait une copie. Lorsque je l'ai vue, cela m'a fait sourire : une évaluation de quatrième, à laquelle j'avais obtenu 9,5/20 ! J'étais une "bonne élève" et, si je n'ai aujourd'hui aucun souvenir de cette évaluation, j'imagine le drame que cette performance a dû générer, à l'époque...

J'ai montré la copie à mes élèves : comme quoi, on peut "se gameller", comme ils disent, et réussir tout de même scolairement et professionnellement. (je sais que pour beaucoup de gens être enseignant n'est pas une réussite professionnelle mais un choix par défaut ou une drôle d'idée, mais pour moi c'était mon objectif, ma vocation. Et oui. En plus, j'assume.) Un de mes élèves m'a demandé si il pouvait examiner la copie en question. Je la lui ai confiée, et au bout de quelques minutes, il m'a dit :

"Mais madame, elle vous a oublié des points, la prof !"

Ah ben d'accord. J'ai recompté et au final mon élève a raison. Ca alors.
Pourquoi n'ai-je pas fait modifier ma note ? Etais-je trop dévastée d'avoir eu moins de 17 ? N'ai-je pas osé, car mon professeur de mathématiques était très rigoureux, très exigeant et très difficile d'accès ? Peut-être, timide comme je l'étais, n'ai-je pas osé aller la voir pour lui demander les points en plus... Dont d'ailleurs je doute qu'elle m'ai gratifiée a posteriori.

C'est tout de même amusant que ce soit un élève de 2014 qui s'en rende compte ! Merci Elhadji !

Les jeunes, réveillez-vous !

Aujourd'hui, j'ai cassé l'ambiance dans ma classe de troisième. J'étais déçue par les résultats des brevets blancs de mes élèves, déjà. Mais surtout, j'avais corrigé un devoir maison. Sur 28 élèves, 13 m'avaient rendu à l'heure leur devoir, dont quatre qui manifestement n'ont pas fait leur travail eux-mêmes. Depuis j'en ai récupéré d'autres, mais 3 élèves sont absents tellement souvent que je ne récupèrerai jamais leur copie, et deux étaient là mais n'ont sans doute même pas envisagé de faire le travail demandé.

J'ai regardé la classe. Il me manquait un nombre considérable d'élèves. Comme d'habitude à 8h. Plusieurs sont arrivés, au fur et à mesure.

Parmi les présents, plusieurs n'avaient pas leurs affaires. Pas leur cahier, pas leur feuille d'exos ou pas leur trousse. Un d'entre eux était affalé sur sa table, tête sur le bureau.

J'en ai eu assez. Je n'étais pas énervée, mais écoeurée. Voici en substance ce que j'ai dit à ces jeunes gens.

L'école est une chance. Il ne faut pas y aller juste parce qu'on est obligé, parce qu'on est au chaud, parce que c'est comme ça.
L'école est là pour aider à construire la vie des jeunes. Pour leur permettre d'avoir le choix. Le choix de ce qu'ils vont devenir.

En ne faisant rien, en ne travaillant pas, en étant mou et sans volonté, en renonçant si tôt, ces élèves me privent de la possibilité de les aider. Et ça, j'estime qu'ils n'en ont pas le droit.
Ils se privent aussi de ce qu'ils pourraient mériter. Mais l'effort intellectuel et scolaire est si loin des préoccupations de certains d'entre eux, devenu si difficile à d'autres, par manque d'habitude, par entrainement à la paresse ou à l'inactivité, qu'ils n'en sont plus capables spontanément.

Je connais des gens qui, toute leur vie, ont travaillé d'arrache-pied pour garantir à leurs enfants de pouvoir suivre des écoles. Mon grand-père avait un travail de jour, et un autre, non officiel, la nuit. Il a permis à ses enfants de suivre une scolarité inhabituelle à l'époque pour des enfants d'ouvrier.
Je connais des gens qui ont dû arrêter leurs études pour travailler, par nécessité économique, et qui jamais n'ont pu réaliser leur rêve, comme devenir maîtresse d'école. Ces gens ont dû exercer des métiers qui ne leur plaisaient pas, qui ne correspondaient pas à leurs talents réels.

Ces gens-là savaient ou savent quel est le prix de l'école. Elle permettait de s'élever, intellectuellement, culturellement, scolairement. Mais elle le permet encore. Différemment, mais c'est encore vrai.

Bien travailler à l'école permet de choisir son orientation.
Bien travailler à l'école permet de collecter des diplômes.
Avoir des diplômes permet de trouver du travail plus facilement et de percevoir de meilleurs salaires, de bénéficier de conditions de travail plus épanouissantes.

Bien travailler à l'école est un facteur de liberté.
Glander est un facteur d'aliénation.

Est-ce si difficile à comprendre ?

J'espère que mes élèves m'ont entendue. Je ne voulais pas être moralisatrice ou larmoyante, je voulais qu'ils comprennent qu'ils se trompent, qu'il n'est pas trop tard, que nous, enseignants, pouvons les aider. D'ailleurs je réfléchis aussi, de mon côté, à comment m'y prendre pour les remotiver, les réveiller, les remettre en activité réelle.

Il m'a semblé toucher quelques élèves, mais combien de temps cela durera-t-il ?

PS : je précise tout de même que cette apathie n'est pas le fait de tous les élèves de cette classe, et que mes autres classes ne sont pas concernées. Je ne fais pas là une description des collégiens en général, mais des deux tiers de mes élèves de troisième. Ce qui fait déjà trop.

Euler, sexy boy ?

Sur le blog Maths93, un post présente un article de Télérama qui, chose assez remarquable, parle de mathématiques :

Un titre avec "sexy" et "mathématiques" côte à côte, voilà qui indique tout de même que les temps changent.

L'identité d'Euler, datant du 18ème siècle, a déjà été élue "plus belle équation de l'histoire" en 1988 par le magazine Mathematical Intelligencer.

Surnommée l'identité d'Euler, cette égalité ultra sexy qui décore le plafond du Palais de la découverte, à Paris, est encore aujourd'hui considérée comme le plus beau trait mathématique de tous les temps, la Sixtine mathématique. Difficile, hélas, de ressentir cette émotion singulière sans avoir un niveau assez élevé.

Qu'a cette formule de spécial ?

L'identité d'Euler présente la particularité de relier entre elles les cinq grandes constantes des mathématiques : 0, 1, pi, e et i.

L'auteur de l'article développe ensuite, de façon plus ou moins convaincante.

L'article cite aussi un expérience menée par des chercheurs britanniques début 2014 :

Un panel de mathématiciens exposés à des équations a passé des IRM. Verdict : l'observation d'une belle formule mathématique active les mêmes zones du cerveau que la contemplation d'une oeuvre d'art. Le cortex préfrontal entre en ébullition. Et quelle équation a le plus excité les matheux ? Toujours cette bombe d'identité d'Euler.

Personnellement, une belle formule est une formule esthétique, ou une formule à laquelle j'aboutis complètement par moi-même. Ce sont deux beautés différentes : une beauté artistique ou une beauté intellectuelle. Mais la formule d'Euler, je ne la trouve pas spécialement décoiffante. Et encore moins "sexy"... Sans parler de l'assimilation de "belle" avec "sexy", dont je ne suis pas hyper fan...

En effet nous ne rions pas ces jours-ci

vu sur blog enseignant des maths

La musique adoucit les maths (et le reste)

Le JDD relaie un article parue fin décembre dans le Journal of the american academy of child and adolescent psychiatry et rapportée par Sciences et Avenir, selon laquelle jouer d’un instrument de musique est bénéfique aux apprentissages et limite le stress.

L'étude a cherché à creuser les résultats d'une précédente découverte. Cette dernière avait établi un lien entre l'anxiété et une épaisseur inhabituel du cortex cérébral, cette couche externe du cerveau. Sur deux ans, les chercheurs ont suivi 232 enfants de 6 à 18 ans en les soumettant à des séries de tests comme des IRM ou des QI. Les résultats ont été en regard de leur pratique musicale. Les zones cérébrales touchées par le stress étaient moins épaisses lorsque la pratique d'un instrument était régulière.
La pratique de la musique a aussi des conséquences positives sur les zones du cerveau qui gèrent la mémoire, l'attention et l'organisation. Enfin, la musique aiderait les enfants à maîtriser leurs émotions.

Solidarités

J'ai aussi une pensée pour mes amis musulmans, ceux qui vivent la tolérance, ceux qui eux aussi condamnent ce drame. Plus que jamais, agissons tous avec intelligence.

Miaouh, I love mes élèves

"Bonne année madame, j'ai fait ça pour vous :"

Mathématiques minute

Mathématiques minute est un petit livre avec pour sous-titre "200 concepts clés expliqués en un instant", paru aux éditions Contre-dires. Je l'ai emprunté à la BU, mais j'aimerais bien que ma documentaliste (Bonne année Sandrine !!!) le commande pour le collège (oui, Sandrine, c'est un message).

L'auteur, Paul Glenndinning, est professeur de maths appliquées dans l'enseignement supérieur au Royaume Uni. Son bouquin est vraiment bien fait et il est clair qu'il manque à l' étagère, dans ma classe : chaque concept abordé est expliqué de façon claire et très synthétique. J'imagine tout à fait mes élèves curieux aller farfouiller dedans.

On commence par les nombres,

on traverse toutes les grandes notions familières aux collégiens et aux lycéens,

les notions emblématiques des maths,

des pages sont réservées aux différents types de raisonnements

 et on termine sur "un des plus grands thèmes unifiants des mathématiques modernes" (que j'ai découvert là, honte sur moi sans doute) : le programme de Langlands.