This is Halloween, halloween, halloweeeen

This is Halloween, this is Halloween

Pumpkins scream in the dead of night

Profitons donc de l'occasion pour vous présenter ce livre : Les maths qui tuent ! de Kjartan Poskitt et Rob Davis, édité aux éditions Le Pommier (dont je reparlerai bientôt, car pour les maths c'est une maison d'édition qui revient souvent).

Le livre est une espèce de bric à brac en bande dessinée, et aborde de façon fantaisiste des questions historiques des maths : la trisection de l'angle, la quadrature du cercle, la suite de Fibonacci, les fractales, etc. Je trouve le livre sympa, mais ça pique un peu aux yeux. C'est sans doute un livre qui va plaire à toute une partie de mes élèves, qui aiment l'extraordinaire, et qui ne sont pas forcément prêts à se plonger dans une lecture linéaire : constitué d'encadrés, on peut feuilleter facilement Les maths qui tuent ! sans obligation de tout lire ou de respecter l'ordre.

This is Halloween, everybody make a scene

Trick or treat till the neighbors gonna die of fright

Histoires de gâteaux

J'avais donné un devoir maison à mes élèves de troisième, juste avant les vacances. Parmi les exercices à résoudre, un exercice de brevet :

Je trouve cet exercice intéressant, parce qu'il parle du sens de le fraction comme proportion, mais je le trouve difficile : les deux tiers des gâteaux restants, c'est compliqué. On voit ça dès la cinquième, mais c'est souvent problématique pour les élèves. Et en même temps, je n'aimais pas trop, dans cet exercice, la question 1, car j'avais le sentiment qu'elle éviterait aux élèves de réfléchir pout la question 2.
De ce point de vue, je suis tout à fait rassurée : personne n'a fait le lien directement. Beaucoup d'élèves ont même été amenés à refaire le calcul de la question 1, sans s'en apercevoir. Parfois ils l'ont bien réalisé alors que la réponse de la question 1 était fausse.

Alors, qu'ont fait mes élèves ? Voici quelques productions.

Impec. Rapide, efficace.

Voilà, erreur d'interprétation de "deux tiers de...", qui amène cet élève
à soustraire. Obtenir un résultat négatif n'a pas l'air de le gêner et il arrive à conclure
avec un nombre de gâteaux réaliste. 

Je pensais rencontrer beaucoup de productions de ce genre, dans lesquelles
l'élève a trouvé, sans doute par essais-erreurs, le bon nombre de gâteaux, et
vérifie. Ca passe en troisième, mais dans l'objectif de la seconde, j'essaie d'amener
les élèves à résoudre plutôt qu'à vérifier.

Plusieurs élèves ont eu du mal à distinguer proportion de gâteaux et nombre de
gâteaux, parfois juste dans l'expression écrite, parfois dans la signification des nombres.

Même style que le précédent. La première égalité est une facilité d'écriture mais
elle est fausse de façon stricte.

Un élève a produit cette solution qui me semble remarquable : il a compris
ce que signifie concrètement la division de fractions.

Un élève visuel, qui parvient bien à exposer sa démarche avec son dessin.

Cette élève a dû se représenter mentalement la situation de façon concrète pour résoudre.
A-t-elle choisi au départ, intuitivement ou d'après son expérience, un nombre
de compartiments de la boîte de gâteaux qui l'amène à la solution ?

Même solution, avec un dessin plutôt qu'une explication. A nouveau une visuelle.

Remarquable encore. Le sens de x n'est pas défini au préalable, mais
une telle capacité de modélisation, en début de troisième, est rare. Quant à l'aisance
en calcul littéral, elle l'est tout autant. Dommage, à la fin, boum badaboum : x=0,25.

Un petit dessin, insuffisant du point de vue de la mise en forme, mais
suffisant pour montrer que cet élève a compris. Il revient à la représentation
de la proportion comme il l'a apprise dans les petites classes, ce qui est tout à fait efficace.

 Je comptais sur cet exercice pour m'en apprendre sur les schémas mentaux de mes élèves. C'est le cas, et je suis contente de constater que tous se sont lancés, et qu'ils n'ont pas hésité à s'exprimer de la façon qui leur semble la plus efficace.

Un prof de maths qui rêve...

Cette nuit, j'ai fait un rêve vraiment construit. Un vrai rêve de prof.

J'arrive devant un lycée. Des tas de lycéens convergent vers l'entrée, tapent un code sur un boitier fixé sur la porte, et entrent. Moi, je ne connais pas le code, et je suis bien embêtée. Un dame, de l'autre côté de la grille, m'interpelle d'un ton assez désagréable : "Qui êtes-vous ? Pourquoi voulez-vous rentrer ?". Elle m'est tout de suite antipathique, mais je lui réponds de la façon la plus neutre possible : "Je suis la nouvelle prof de maths. J'ai eu ma mutation pour cet établissement." Elle me déclare "Oui ben pas de code, vous ne rentrez pas, c'est tout."

Crotte, ça commence mal. Je regarde autour de moi, mais les lycéens entrent sans faire attention à ma présence. Maintenant ça me saute aux yeux : je suis au Quebec. Je visite beaucoup de sites canadiens, ces jours-ci. Ils sont très très fort du point de vue des expérimentations pédagogiques. Et puis j'ai regardé la vidéo de la vie de Pythagore par des élèves québécois, aussi, la veille. Je me dis que ce n'est pas courant, comme situation, d'être mutée au Quebec, mais bon. Je demande à un lycéen le code. Il me le donne gentiment, c'est 6-1-8-4-9. Je me dis que ça va, comme empan, c'est raisonnable. Ca, c'est la conférence de monsieur Fayol aux journées de l'APMEP. Je rentre.

L'établissement est très, très grand. J'ai un petit papier dans la main, qui m'indique un vague emploi du temps. Je dois me rendre salle 382. Je croise des tas d'étudiants très québécois, et comme pour enfoncer le clou, mon cerveau en a doté un grand nombre de sandwiches au beurre d'arachide. Plusieurs m'en proposent, d'ailleurs. C'est gentil, mais non merci, je déteste ça.

Je sillonne le lycée, je vais de bâtiment en bâtiment. Je ne trouve aucune logique aux numéros affectés aux salles. Tous sont des nombres à trois chiffres, mais ils ne dépendent pas du tout de l'étage. Je ne trouve aucune salle 382. Il y a une salle 380, à côté une salle 231 et une salle 141, puis la salle 383. Mais pas celle que je cherche. Je demande à des lycéens, qui me demandent quel groupe classe je cherche. Mais je l'ignore. D'ailleurs je me fais la réflexion que je ne connais pas non plus les programmes. Pour autant, cela ne m'inquiète pas outre mesure : je me dis que je leur proposerai une activité qui semble adaptée à leur âge et qui me permettra d'évaluer leurs acquis. Oui bien sûr... Je ne sais pas qui sont mes élèves, ce que je crois leur apprendre, ni où ils sont, mais tout va bien!

Un jeune homme me dit qu'il croit avoir vu une salle 382 de l'autre côté de la cour, mais il n'est pas sûr parce que les numéros changent tout le temps. Ca me rappelle la maison des feuilles, un bouquin assez fantastique. Je commence à accélérer, car je ne voudrais pas être en retard. Alors je décide de passer de l'autre côté de la cour par le chemin le plus rapide. Je vous fais un dessin, parce que là, ça devient technique.

le truc qui traverse la bac à sablé géant est une passerelle,
avec un escalier de chaque côté.

Mon objectif est de suivre le trajectoire en vert. Pour ça, je passe au-dessus d'une clôture assez haute sans aucun problème, parce que je suis hyper sportive, bien entendu et je commence à traverser une étendue de sable. Je trouve ça incongru, mais surtout je ne comprends pas pourquoi tout le monde s'agite autour de moi : les lycéens me crient des trucs l'air tout paniqués et font de grands gestes. C'est curieux, mais je ne m'inquiète pas.

Et puis là, je ressens une vibration très forte qui vient du sol. Je me retourne et je vois, effarée, un immense ver de sable. Il sort à la verticale du sable et il est rapidement très clair pour moi qu'il veut m'avaler toute crue. Alors paf, ni une ni deux, je balance mon cartable par-dessus la clôture car il est hors de question qu'un ver de sable dévore mon cartable... et je cours vers la passerelle qui permet de passer au-dessus du bac à sable. Je perds mon emploi du temps en route, ce qui m'embête beaucoup car le proviseur, qui est la dame de l'entrée de tout à l'heure, ne m'en donnera sans doute pas un nouveau, vu comme elle est désagréable. Déjà que je ne trouve pas ma première salle, je me dis que ça va être compliqué pour la suite. Mais bon, un problème à la fois :

pour l'heure, je cours. En courant, j'attrape deux grandes pierres, plates et circulaires, genre des nénuphars fossilisés. Ca doit être très lourd, mais pourtant je détale comme un lapin car en plus d'être souple et rapide, je suis super forte. Et je fais des cabrioles improbables avec une grande agilité (...), et je me retrouve sur la passerelle. J'entends des réactions de soulagement plus bas, mais je n'en reste pas là. Visiblement j'ai décidé de régler mes comptes avec ce ver de sable. Il me semble aveugle (il n'a pas d'yeux, ce qui m'aide à parvenir à cette conclusion), et je suppose qu'il se déplace grâce aux vibrations. Alors je balance d'en haut de la passerelle mes deux nénuphars fossilisés, blaf. Cela a l'effet escompté, et le ver de sable, qui restait immobile depuis mon envolée sur la passerelle, se précipite juste au-dessous de moi. Je me mets à sauter sur place de toutes mes forces sur la passerelle, et le ver se redresse et s'élance pour me croquer. Mais il mord à pleine gueule la passerelle en métal, qui résiste, heureusement pour moi, et le choc assomme mon ver. Il retombe sur le sable, groggy ou mort, je ne sais pas.

Alors je me penche pour le regarder. Bon, je dois aller chercher mon sac. Mon emploi du temps, c'est mort, il l'a bouffé. Il faut que je trouve une solution pour en avoir une copie. Mais surtout, je suis en train d'échafauder des activités pour transformer le ver en objet pédagogique : et si on trouvait un moyen d'évaluer sa longueur ? Peut-on l'assimiler à un cylindre, et calculer son volume ? On pourrait sûrement faire des calculs de vitesse rigolos. J'ai hâte de trouver mes élèves ; je vais les amener ici et on va faire une super première séance. Ca ferait un bon EPI, SVT-maths ou EPS-maths. De la vraie pédagogie de projet, façon Freinet.

Et là, je me réveille.

Pfou, prof, quel boulot !

Evaluer tranquillou mes loulous

Ce matin, je discutais avec ma fille, qui est aussi une de mes élèves de sixième. Je lui expliquais qu'il allait falloir que je m'attaque à mes évaluations de sixième. Elle a marqué une pause et m'a demandé, dubitative :
"Ah bon, on a fait une évaluation récemment, en maths ?"

"Oui, plusieurs fois je vous ai demandé d'aller chercher une feuille de brouillon et de réaliser des choses dessus : représenter un angle de 35°, tracer une bissectrice, une hauteur dans un triangle... J'évalue, ça, en terme de compétences, tu sais, en mettant des points verts ou rouges ?"

"Aaaah, oui. Pour moi c'est pas une évaluation. Une évaluation, c'est quand le prof il dit "Allez, évaluation ! Sortez une feuille et tout le monde se tait !". Ca fait peur et tout. Là, c'est pas pareil : on n'est pas stressés."
"Oui, ben c'est une évaluation puisque j'évalue ce qui est acquis ou pas ; on pourrait même assimiler ça à une interro surprise, en un sens. "
"Oh non, c'est pas pareil ! Une interro surprise c'est stressant et puis j'aime pas. Là, tu nous demande juste de faire un truc, et on sait le faire."
"Pas tous."
"Presque, à mon avis."
"Oui, mais le presque est important."
(silence)
"Mais je vais les aider, ceux du "presque".
"Mais comment tu fais, puisqu'on se parle et qu'on aide ceux qui n'y arrivent pas tout seuls ?"
"Je vous regarde. Un élève qui n'y arrive pas au départ mais qui réussit avec un coup de pouce de son voisin, il a vert. Un élève qui a besoin qu'on lui réexplique une partie de la méthodologie, je lui mets rouge. Un élève qui ne réussit pas tout seul, qui ne saurait manifestement pas refaire seul, je lui mets rouge-rouge. Et puis plus tard, je réinterrogerai sur les mêmes compétences. Comme ça on pourra voir si ceux qui avaient du mal réussissent, avec plus de temps. C'est pour ça qu'on reparle tout le temps de tout, pour réactiver, tu vois ?"
"Oui. Moi j'aime bien, comme ça."

Moi aussi. Je n'évalue pas que de cette façon, évidemment. Il me faut aussi des temps longs, propices à l'écriture, à la recherche. Mais c'est vrai que l'interro surprise n'est plus ce qu'elle était, et c'est bien.

Cartacharis, pleiiiiiiiin de jeux pédagogiques

Le site Charivari à l'école propose des jeux pour les enfants de maternelle et de primaire. Certains, proposés en cours moyen, sont tout à fait utilisables en classe de sixième, en particulier pour nos élèves en difficulté ou en situation de handicap, comme appui en aide personnalisée ou en PPRE.

Le principe de ces jeux est tout simple : "On reconstitue des paires de cartes : la carte "question" avec sa carte "réponse". Pour valider qu'une paire est juste, on retourne les cartes : on doit trouver le même dessin au dos des deux cartes. Si ce n'est pas le cas, c'est qu'on s'est trompé."

Il suffit donc d'imprimer la feuille de questions-réponses et la feuille de motifs en recto-verso, et hop, on peut distribuer ça aux élèves, en leur proposant même des thèmes différents, selon leurs difficultés.

Personnellement, je vais tout essayer avec mes sixièmes. Je vous raconte une fois les activités testées.

La réforme du collège est-elle novatrice ?

Oui, sans doute, si elle entre concrètement en application un jour, si chaque établissement ne met pas en oeuvre des stratégies de contournement pour "faire comme si" elle l'appliquait alors que rien ne change, si ... Bref, c'est pas gagné.

Que ce soit au sujet de cette réforme ou au sujet de dispositifs pédagogiques variés (la classe inversée, l'évaluation par compétences dans toutes ses déclinaisons, les travaux interdisciplinaires, l'aide personnalisée, etc.), on nous ressert en permanence de "l'innovation pédagogique". Révolution salvatrice pour les uns, menace des libertés pédagogiques pour les autres, usine à gaz pour d'autres encore (encore qu'il puisse y avoir intersection non vide), ce qui est sûr, c'est qu'en fait on ne réinvente rien. On recycle, on modifie, on adapte, on répète, mais au final même notre réforme actuelle n'invente rien.

Louis Legrand est mort le 20 octobre. Louis Legrand était un homme qui réfléchit, qui s'engage, et il s'en est pris plein la tête. Dès les années 70, il voyait en la pédagogie différenciée une réponse à l’hétérogénéité des publics scolaires, et proposait une pédagogie fonctionnelle, qui met l'élève face à une situation problème, qui l'amène à éprouver le besoin d’apprendre et donc à développer une réelle motivation pour apprendre. Il souhaitait l'autonomie des établissements, en particulier du point de vue de l'organisation pédagogique et des contenus des enseignements. Le rapport qu'il avait remis au ministre de l'éducation en 1982 préconisait la pédagogie de projet, en interdisciplinarité... Dans l'article du Monde qui lui est consacré, on lit qu' "il proposait une redéfinition du service hebdomadaire des enseignants dans le sens d’une présence accrue dans l’établissement : seize heures de cours pour tous (agrégés compris), trois heures de tutorat et trois heures de concertation."

La réforme actuelle, elle paraît pâlichonne par rapport à ce que proposait monsieur Legrand. Lui, il a continué d'oeuvrer pour l'éducation, pour les jeunes, pour les profs, certainement pour lui-même aussi, pour comprendre. Mais il avait subi la colère organisée des syndicats et des médias, des soi-disant bien-pensants pour la communauté, qui n'ont été que des frileux corporatistes.

En fait, rien ne change. Ni les essais d'évolution, ni le bouillonnement intellectuel et les expérimentations plus ou moins isolées des profs seuls devant leurs classes, refusant de se résigner devant les difficultés de leurs élèves... Ni les arguments opposés, les débats sans fin, souvent creux, parfois violents, les réactions de frustration.

On n'innove pas, on s'enkyste. Mais ça en coûte, de l'argent, de l'énergie et du temps.

Regardez les loulous, j'ai ramené des casse-tête...

... Ca vous dit ?

Les enfants ont fini leurs nouilles chinoises, et je les cueille avant le dessert. J'amène cinq casse-tête, ils sont quatre, j'observe et j'écoute. Le meilleur, ce sont les dialogues... ou les monologues, d'ailleurs.

Hyper studieux, chacun sur son casse-tête

Bon, je n'ai pas pris grand risque : ils sont du genre curieux, ils sont habitués à réfléchir, ils savent ce que signifie chercher sans trouver immédiatement. Mais tout de même, je suis contente d'eux. Ils ont passé une heure sur les jeux, à se les passer, à réfléchir seuls, ensemble, malgré l'envie de regarder l'exoconférence d'Alexandre Astier.

"N'oubliez pas votre dessert, quand même..."
"Oui ben le dessert je le zute. Il attendra que j'aie rangé mes petits chats."

Alice joue à un jeu de déplacement. Il s'agit de réussir à encastrer la pièce rouge avec la pièce noire,
en se déplaçant par translations horizontales ou verticales.  Elle se débrouille bien.
Elle aime "parce que on n'a pas à commencer, on nous donne la situation initiale"

Owen, sur le même type de jeu, mais cette fois deux pièces
ont la propriété de pouvoir glisser sous les autres. Ca lui plaît aussi.

Dans ce jeu-ci, il s'agit de faire sortir une pièce. C'est un jeu
qui s'apparente au rush hour. En joli et avec davantage de variations
en terme de niveau de difficulté.

Alice doit replacer les petits chats dans l'emplacement noir.
Elle tente le niveau moyen, où on essaie d'en placer 8, en en laissant un de côté.
Pas fastoche...

Zut, ça rentre pas...

Maude a réussi, un niveau pas évident du tout.
Il lui a fallu de la patience !

Victor s'attaque aux huit chats...

Et réussit, sous les acclamations des trois autres.

Il tente avec neuf chats :
"Bon, faut que je place le dernier. Y a des trous, faut qu'j'optimise." 
... Sans succès !

Un jeu tout bête ?
Il faut former un T avec ces quatre pièces.
Celui-là nous résiste, avec opiniâtreté.

Non, pas un I ; un T, on t'a dit !

Owen tente de décomposer sa démarche de façon algorithmique :
il fait des plans. Mais il y a tant de possibilités... La feuille est trop petite.

Bon, Victor a réussi, et assez vite au final. Mais je ne mets pas la photo : spoiler, c'est mal.

Dernier jeu : placer toutes les pièces de sorte que la somme
des pièces accolées horizontalement ou verticalement soit inférieure
à un seuil que l'on fixe en fonction de la difficulté recherchée.

Ils sont testés et approuvées : ils sont tous bien, ces jeux. Faciles à prendre en main, avec des variantes pour s'adapter au niveau choisi, ils impliquent une vraie réflexion.
A la rentrée, ils prendront leur place au club maths.

Heuuuu t'as marron, comme moyenne.

Une collègue de français, madame Auzou, a trouvé ceci en surfant :

Cela m'a bien amusée. Et puis j'ai senti une petite gêne, au fond de moi. Alors j'ai gratouillé là où ça me titillait.
J'utilise Sacoche, je manipule ces fameuses couleurs. Je ne transforme pas mes bilans en note, ni en moyenne. Mais je fournis aux parents qui le souhaitent un taux de réussite, en fin de période. Et j'explique au collègues, lors des formations que j'anime, que Sacoche permet la conversion en note. C'est lâche. D'abord, parce que je sais qu'il y a ça d'écrit, dans le manuel de Sacoche :

Ensuite, parce que je dis ça pour amadouer, pour endormir les velléités de rentre-dedans de collègues attachés, pour des raisons qui leur sont propres, à cette fichue note.
C'est nul, dans le fond.
Et en même temps, permettre cette conversion est aussi un moyen de proposer un entre-deux, en espérant amener à aller plus loin, en permettant peut-être de se lancer plus sereinement, sans angoisse.
Et puis noter sur quatre codes (rouge-rouge, rouge, vert, vert-vert, c'est aussi une forme de sommatif...

J'en reviens toujours à la même chose : note ou pas note, là n'est pas la question. La question, elle est double : que veut-on enseigner ? Comment veut-on l'enseigner ?
Forcément, la question de l'évaluation en découle. Mais c'est une conséquence, pas une problématique en soi. Ce sont les pratiques d'enseignement qu'il nous faut interroger, tout le temps, partout, en pensant à nos élèves, en les observant en activité, en analysant leurs productions écrites, orales.

C'est amusant, j'ai retrouvé l'image dégottée par la collègue pile sur la page du manuel de Sacoche d'où j'ai extrait la mise en garde ci-dessus !

Une conférence de Michel Fayol sur l'acquisition du nombre

J'ai eu la chance d'assister, aux journée de l'APMEp de Laon, à la conférence de Michel Fayol intitulée "Les difficultés en mathématiques, quelle histoire !". Je présente ici une partie de ses propos, aussi fidèlement que possible.

Michel Fayol se place du point de vue ontogénétique, c'est-à-dire en examinant le développement psychologique des individus depuis l'enfance jusqu'à l'âge adulte. Il cite Stanislas Dehaene et Laurent Cohen comme références.


Constats
Depuis une vingtaine d'année, les élèves qui sont meilleurs en mathématiques sont ceux qui se retrouvent avec les professions les plus valorisées, les mieux payées. Ce n'était pas vrai il y a un siècle (c'était le latin), ni il y a cinquante ans (c'était l'orthographe).  Nous avons aujourd'hui, en France, d'excellents élèves, et aussi de très faibles. Et la scolarisation ne réussit pas à réduire les écarts, alors qu'ailleurs en Europe certains pays y parviennent. Il faut donc s'interroger sur l'encadrement de nos enfants, pour réussir à sortir de ce schéma bimodal.


Réussir en mathématiques : mobiliser une mosaïque de compétences et faire des liens
On sait que les différences langagières pèsent très lourd sur la réussite des individus et sur leur développement, et ce dès l'âge de trois ou quatre ans. Mais les inégalités en ce qui concerne les tout débuts de l'acquisition du nombre sont, elles aussi, très précoces et déterminantes. Les nouveaux programmes de l'école maternelle sont pensés pour remédier à ces difficultés.
Les performances en mathématiques sont très liées à une grande variété de capacités. Elles dépendent de toute une mosaïque de compétences. Ce qui va faire la réussite est la possibilité de gérer toutes ces composantes ensemble, et la défaillance de l'une d'entre elles ou lors de l'articulation de ces composantes peut engendrer des difficultés considérables. C'est alors qu'on parle de dys- ; sauf que les dys-, c'est une classification artificielle, purement sociale.  Les seuils qui déterminent si on est dys- ne sont pas déterminés par la nature même des difficultés, mais sont déterminés socialement, et dépendent de considérations liées à la prise en charge des individus par la société.
Parmi ces composantes, on peut citer la mémoire à court terme (ou mémoire de travail), le sens du nombre, l'intuition des grandeurs et des quantités, le transcodage, la capacité à gérer l'espace, le langage, les praxies, l'attention, des dimensions affectivo-sociales (les interactions du petit enfant au sein de sa famille par exemple), la vitesse de traitement, etc. Par exemple, les enfants présentant des troubles de l'attention ont systématiquement des performances moindres en mathématiques. Les enfants prématurés aussi, car leur vitesse de traitement est affectée : la conduction nerveuse de ces enfants est inférieure à celle des enfants "tout-venants". L'anxiété joue également un rôle important, est très répandu auprès des élèves dès le cours préparatoire, chez les parents, mais aussi auprès des enseignants  (notamment des professeurs des écoles). C'est très préoccupant : ces enseignants peuvent contraindre de ce fait l'horaire des enseignements mathématiques ou traiter d'une manière algorithmique ces enseignements, en mettant l'accent par exemple sur le traitement des opérations, mais pas sur l'ouverture à des situations de problèmes.
On suit aujourd'hui des milliers d'enfants, sous forme de cohorte, pour comparer des performances à un moment donné et essayer de décrire comment les performances évoluent sur les dimensions mathématiques, cognitives, sociales, et pouvoir étudier leurs interactions, déterminer quelles sont les variables les plus importantes.
Ce qui ressort des données récoltées aujourd'hui, c'est l'extrême importance de différences entre individus, et aussi l'existence de très grandes différences intra-individuelles, ce à quoi les chercheurs ne s'attendaient pas forcément : un même individu peut, en géométrie, en calcul, en résolution de problèmes, se retrouver dans des situations de compétence très différentes. L'homogénéité des performances est une exception. La règle, c'est l'hétérogénéité de performances chez l'individu. Cette diversité intra-individuelle oblige à penser des trajectoires différentes et des modalités différentes d'intervention.


Les représentations du nombre
Le concept de nombre est associé à trois types de représentations :

• la représentation des grandeurs et des quantités, qui serait analogique, liée à la perception, une sorte d'intuition extrêmement primitive dont on pense qu'elle serait héritée de l'histoire des espèces. Les animaux en disposent, y compris des animaux très bas dans l'échelle de l'évolution, comme les poussins.
• le code verbal
• un codage visuel : essentiellement pour nous les chiffres arabes.

Il peut y avoir dissociation : une représentation peut manquer alors que les deux autres sont présentes. Et cela rend les choses très compliquées. Et passionnantes, aussi.

Le nouveau-né, quelques heures après la naissance, dispose déjà de deux capacités très élémentaires :

• l'une, qui embête beaucoup les chercheurs : les enfants sont capables, pratiquement à la naissance, de différencier un de deux, et deux de trois. On présente des cibles visuelles, dont on fait tout varier (la forme, la couleur, etc.) sauf le cardinal, puis on change ce cardinal. On observe chez le bébé une réaction de surprise ou de fixation, ce qui montre que les enfants sont capables d'effectuer la discrimination 1-2-3. Mais est-ce déjà du nombre ? Certains chercheurs considèrent que oui, et la plupart que non. Aujourd'hui, l'idée dominante est que cela relève d'une capacité de mémoire visuo-spatiale, qui suffit à expliquer ce phénomène. Mais on n'est pas sûr...
• l'autre consiste à comparer ou à estimer le cardinal de collections d'objets. On observe que cette acuité triple entre la naissance et l'âge de trois ou autre ans, et triple encore entre quatre ans et l'âge adulte. Chez les enfants dyscalculiques, on observe des performances très inférieures à celles des "tout-venants", ainsi que chez des individus soufrants de syndromes génétiques (Turner, Williams), chez qui le sillon intrapariétal est affecté.

Chez des populations amazoniennes qui n'ont pas développé de système verbal lié au nombre en-dehors de un, deux et peut-être trois (trois appelle déjà des distorsions considérables), l'acuité s'arrête assez vite et atteint un plateau vers quatre ans. Mais si les enfants sont scolarisés, même brièvement, on améliore les performances : la maturation a une importance, mais l'éducation aussi.

Le traitement symbolique

Avec le modèle du triple code du nombre, on postule une représentation analogique des grandeurs et des quantités à la naissance, dépendante de la perception et imprécise. Les cultures (à l'exception de quelques peuples, comme les Amazoniens cités précédemment) procurent des représentations symboliques. Ce peut être des encoches sur un os, l'utilisation des doigts, du boulier, les chiffres arabes, et sont la plupart du temps liées au langage.

Les enfants, à la maternelle et au début du primaire (CP-CE1), ont tout à apprendre : ils doivent acquérir le code, son fonctionnement, la vitesse de traitement, la manipulation de ce code. 

Des enfants qui ont des troubles de l'espace peuvent être considérés comme "mauvais en mathématiques", même si leur difficulté peut être l'écriture des chiffres arabes. Le plus important est l'organisation du code et sa relation avec la quantité, dans les deux sens.

Tous les codes verbaux comportent un lexique, des bases, des combinatoires, posent des problèmes de régularité. Ces codent dépendent de la langue parlée par l'enfant, et leurs incidences sur les réussites en mathématiques sont très importantes.

En guise de conclusion

De nombreuses questions se posent, et nous n'avons pas d'éléments de réponse pour toutes. Mais des outils, des dispositifs de remédiation existent. Le problème professionnel de l'enseignant est de parvenir à identifier les sources des difficultés de ses élèves, pour pouvoir les remonter (ça m'évoque les aventures des explorateurs qui ont cherché à remonter les sources du Nil) et proposer des solutions, des idées qui permettent de les faire progresser.

Les mots de la fin... 
" A titre personnel, et ce n'est qu'une opinion, je crois que c'est une erreur de faire du calcul mental de façon isolée, sans impliquer ce calcul mental dans des activités de plus haut niveau qui exigent une flexibilité mentale, un contrôle, et surtout qui vont réactiver dans la mémoire les connaissances dont on dispose. C'est comme si on vous faisait manipuler un levier de vitesse sans que vous ayez la voiture autour, quoi." (ça, je vais y réfléchir, ça ma plaît et je sens que je dois en faire quelque chose)

"Le socle, il faut l'affirmer et le réaffirmer. Il faut dans ce cas-là appliquer le principe de la maîtrise absolue du socle. C'est-à-dire il ne faut pas noter 10/20, il faut que ce soit, pour certaines notions, 20/20. Et là-dessus je pense qu'on a continué à utiliser des notes comme avant, en utilisant la notion de socle comme une notion qui ne correspond pas au fait que il y a des choses qu'il n'est pas permis d'ignorer : des faits, des procédures, des savoirs faire. Peut-être qu'avec la différenciation pédagogique, une meilleure formation des maîtres et surtout en expliquant mieux ce que signifie le socle, on progressera. Ce 10/20 n'a aucun sens : vous n'avez aucun contrôle sur ce qui est effectivement maîtrisé. Or on a besoin qu'il y ait une maîtrise de base.
Je crois qu'on se trompe complètement sur l'utilisation des notes. On confond la hiérarchisation des élèves avec la nécessité de maîtrise des savoirs et des savoirs faire."

x + y, des maths et des gens

Nous avons regardé récemment le film "x+y, le monde de Nathan". Sorti en France en juin 2015, ce film britannique n'a réalisé que 42 289 entrées. C'est dommage, surtout au vu du nombre de daubes qui en attirent beaucoup plus. Le DVD est sorti il y a quelques jours.

x+y n'est pas un chef d'oeuvre, mais c'est un film intéressant et qui vaut le coup d'être vu. Il raconte l'histoire de Nathan, à partir du moment où, enfant, il est diagnostiqué comme souffrant de troubles autistiques. Nathan est très doué en mathématiques, peu communicant, incapable d'empathie, ce qui est une des caractéristiques de l'autisme : on évoque souvent la triade, en lien avec l'autisme, qui se décline en :
- une altération qualitative des interactions sociales
- une altération qualitative de la communication
- des comportements et des intérêts répétitifs et stéréotypés.
Dans le film, Nathan n'est à aucun moment qualifié d'autiste. Il souffre de troubles autistiques. Il ne s'en tire pas mal du tout : il parvient à être autonome, voyage, ce qui serait impossible à bien des autistes. Evidemment, j'ai pensé à Daniel Tammet, qui est autiste et vit une vie autonome et riche. Malheureusement, la plupart des personnes souffrant d'autisme ne sont pas des autistes de haut niveau (ce qui n'a rien à voir avec le concept de surdoué ; un autiste de haut niveau n'a pas de retard mental). On ne les voit en général pas, car ils ne sont pas en mesure de mener une vie "normale".

Nathan est sélectionné pour les Olympiades internationales de mathématiques. De là découlent bien des aventures pour lui, qui vont lui permettre d'évoluer.

Morgan Matthews, le réalisateur, a réalisé des documentaires auparavant, ce qui se sent dans son film. En particulier, il a réalisé Beautiful Young Minds, qui déjà traite des Olympiades Internationales de Mathématiques. Des rencontres à cette occasion l'ont marqué, et lui ont donné envie de développer le sujet au travers d'un film. Déjà il avait rencontré des Aspergers. L'acteur qui incarne Nathan a lui aussi, pour le film, passé du temps avec souffrant de ce syndrome.

Selon Morgan Matthews, les mathématiques sont un univers rationnel qui peut servir de refuge pour des personnes comme Nathan. Se plonger dans les mathématiques serait une sorte de fuite du réel et de ses traumatismes, une échappée vers l'abstrait, le non émotionnel. Je comprend ce qu'il veut dire par là, mais l'exercice des mathématiques peut aussi être extraordinairement chargé d'émotions, en fait.

L'autisme est peu traité au cinéma, les maths aussi. Mais ce n'est pas le seul atout de x+y. J'ai trouvé ce film magnifique dans la description qui est faite des parents de Nathan. Chacun à leur façon ils sont extraordinaires, et crédibles. Son professeur particulier est aussi un personnage très touchant de par sa complexité. On n'entre pas dans la "passion mathématique", on ne sent pas vraiment en quoi faire des maths plaît à tous ces jeunes gens qu'on suit. Mais tout de même, c'est à voir.

Qui qui s'est mis le douzième en trop dans la poche ??

Lu et entendu sur le Blog enseignant des maths (les Dudus) :

" En plein ramassage du bois pour l'hiver, je reçois un mail de Karine Tomassini, un prof de maths de l'académie de Versailles."

C'est rigolo, une belle grosse erreur comme ça. Je me demande si la journaliste s'en est aperçue, si c'est un lapsus ou si les fractions ne signifient vraiment rien pour elle. J'opte plus pour la langue qui fourche, personnellement, car une telle incompréhension me semble très handicapante dans son métier, comme d'ailleurs dans la vie courante.

Ou alors, plus émoustillant : elle a dénoncé, comme ça ni vu ni connu, une corruption dans le projet... Aaaah oui, ça doit être ça : les maths au service de la justice, youhouuuu !

Ce qui me frappe aussi, c'est l'activité de vacances de mes collègues : quand l'une écoute France Inter le matin à 6h30 en vacances, l'autre ramasse du bois... Dites, les collègues, pensez à vous reposer, aussi !

Zèbres, crocodiles et Ecossais

Un article du Monde, récemment, présentait un exercice du bac écossais qui a fait un joli gros buzz. En fait, ça date un peu, puisque l'examen remonte au mois de mai. Comme ce type d'article est une espèce de marronnier, j'ai commencé par l'ignorer avec un zeste de mépris. Mais l'idée d'examiner cet exercice m'a tarabiscotée... J'ai craqué, alors du coup autant partager mes réflexions.

L'article du Monde explique : "Jugeant l’exercice du crocodile trop difficile au même titre que l’ensemble de l’examen, les candidats écossais au Higher Maths exam, l’équivalent de l’épreuve de mathématiques du baccalauréat français, ont lancé une pétition en mai dernier. Intitulée « Expliquez-nous pourquoi l’examen de mathématiques a été élevé à un niveau impossible », elle a recueilli plus de 11 000 signatures, aboutissant à un abaissement de la note requise lors de cette épreuve pour obtenir le diplôme."

Puis : "Si de prime abord, l’exercice apparaît à peu près équivalent à celui des exercices proposés en terminale scientifique en France, le temps imparti peut sembler un peu court. D’une durée de 90 minutes, l’épreuve réservait 10 points sur un total de 70 à cet exercice. Les lycéens disposaient donc d’environ 13 minutes pour résoudre ce problème."

Bel arrondi, avec le "environ" tout bien comme il faut, bravo madame Buratti (c'est l'auteur de l'article). Sauf que je ne vois pas pourquoi chaque exercice devrait représenter le même volume horaire.

Voyons un peu l'exercice coupable :

« Un crocodile a repéré une proie située à 20 mètres de lui sur la berge opposée d’une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l’eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s’il traverse la rivière en visant un certain point P, placé à x mètres du point de départ sur l’autre rive (voir schéma).

Le temps T nécessaire pour faire le trajet est donné par l’équation indiquée ci-dessous (en dixièmes de seconde).

1. Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage. 
2. Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s’il coupe la rivière au plus court. 
3. Entre ces deux extrêmes, il existe une valeur de x qui minimise le temps nécessaire. Trouver cette valeur de x et en déduire ce temps minimum. »

Je me suis, pour ma part, lancée avec entrain dans la résolution du problème. Et j'ai très vite perdu mon entrain : à part être assez ennuyeux à résoudre (c'est quand qu'on réfléchit ?), je ne lui vois pas spécialement de défaut. Il est contextualisé, et ça parle de bestioles comme on n'en voit pas trop en Ecosse, certes. Il faut se farcir l'étude d'une fonction racine carrée, ce qui est assez peu épanouissant, bon. Et après ?

Cela devient une mode, de râler sur les sujets d'examens. On se plaint que le bac ne vaut plus rien, mais dès qu'un exercice sort un peu du lot, quelle qu'en soit la raison, on crie au scandale. Là, il me semble que c'est la même chose.

Même pour des évaluations certificatives, il semble que les élèves eux-mêmes réclament une uniformisation. Or, faire des maths, ce n'est pas ça. Entendons-nous bien, il ne s'agit pas de demander aux candidats d'inventer une nouvelle démonstration du théorème de Fermat, mais tout de même, l'idée est d'apprendre à être autonome. Je te montre ce qu'il y a dans la caisse à outils, je te montre quoi en faire, dans des situations variées, et après tu bricoles tout seul. Avec plus ou moins de succès, mais ce n'est pas grave : parfois, le marteau, il dérape et pan sur les doigts. On s'en remet, en général.

Après m'être gentiment énervée, je suis allée surfer sur mes sites favoris. Et évidemment, Inclassables mathématiques avait déjà abordé le sujet... Et avec quel talent ! J'en cite juste le début, mais il faut aller le lire dans son intégralité. L'auteur expose sa lassitude de ce type d'article et, surtout, cherche le vrai problème de cet exercice, dans la suite.

" Ô joie de la superficialité! Quel bonheur: un titre accrocheur et un texte dont les termes utilisés seraient proportionnés aux nombre de signataires d'une pétition et dont l'absence de réflexion serait le signe d'un trop grand contenu ésotérique, inaccessible au bas peuple....

Et de fournir le corrigé de la dite impossibilité. Enfin non, de publier une vidéo en anglais, ce qui semble en l'espèce (francophone celle-là... blague juridique!) ne poser aucun problème de compréhension aux lecteurs... Tiens tous les lecteurs comprennent maintenant spontanément l'anglais au point d'y éclairer la résolution de problèmes mathématiques! Les maths NON mais l'anglais OUI! Qui s'exaspère de la descente abyssale du niveau scolaire? Sans doute une question de vases communiquants. La baisse des atttentes mathématiques produit effectivement une élévation du niveau en anglais... Si si je viens de le démontrer scientifiquement."

La vidéo correction incriminée sur Inclassables Mathématiques

Dans la peau du scientifique que tu veux

Jérôme Ferrari (professeur de philosophie, romancier, prix Goncourt 2012) et Étienne Klein, (physicien, philosophe des sciences) sont les présidents de la 7e édition du concours de nouvelles « Nouvelles Avancées », organisé par l'ENSTA ParisTech, sous le patronage du ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche. Le site est très bien fait et explique tout.

Le thème de cette année : « Dans la peau d’Archimède, Einstein et les autres », à travers une nouvelle sur un sujet scientifique mais abordée de façon littéraire.

Le concours est ouvert à tous, au travers de trois catégories : « Étudiants scientifiques », « Élèves et classes du secondaire », « Grand Public ». La nouvelle est à déposer sur le site avant le 23 janvier.

Encore un projet qui m'aurait bien plu... Mais il faut faire des choix, et j'en ai déjà fait d'autres. Mais je garde cette idée pour une année à venir. Et je vais quand même en parler au club maths. J'ai déjà en tête deux jeunes auteurs prolifiques et inventifs que cela pourrait bien intéresser.

Minecraft fait des maths

Ici, un article présente un grapheur sous Minecraft... Bon, je ne vois pas bien l'utilité, et passer par Minecraft pour visualiser une courbe représentative de fonction ne me semble pas la démarche la plus simple, mais c'est rigolo. Shanewolf39 en est le concepteur, et j'aurais bien aimé savoir ce qui l'a amené à élaborer cet ovni...

Journées nationales de l'APMEP, le lundi

6h45, le réveil sonne. Il faut se préparer et tout ranger dans la valise, sans perdre de temps.

un exemple concret d'exo type brevet en algo, par l'IG

7h30, petit déjeuner. Nous bavardons avec notre hôte, nous chargeons la voiture. C'est notre dernier jour : demain, nous n'assisterons ni aux réunions préparatoires aux journées 2016, ni au discours de clôture. Il est temps de rentrer chez nous.
8h30, arrivée à la cité scolaire de Laon. Chacun part vers son atelier. Pour ma part, il s'agit de la reformulation en mathématiques. Intéressant, en particulier sur des exemples concrets, comme le rôle et le sens du mot "avec" dans des consignes de manuel. En fin d'atelier, je pose des questions et apporte des éléments de mon expérience, en particulier en lien avec le lire-écrire-parler que nous travaillons beaucoup dans l'académie de Rouen et qui est un axe fondamental du référentiel de l'éducation prioritaire. Contact est pris avec le chercher de Diderot à Paris : nous allons échanger. Chouette !
10h30, nous allons acheter une calculatrice à mon fiston. La rolls des calculatrices... Je lui piquerais bien, mais il a déjà anticipé par SMS : "c'est la mienne, maman !". Ok, loulou. Je récupère aussi des rapporteurs rigolos spécial élèves en difficulté. En les rangeant, je pense à C, G, D, C, qui vont peut-être comprendre comment mesurer des angles, et aussi les pourcentages, en les envisageant autrement.
11h, retour dans le Laon historique pour les présentations à un inspecteur général des questions d'actualité, rassemblées par groupe : collège, lycée, enseignement supérieur, formation des enseignants. A la maison des Arts et Loisirs, il y a une très belle exposition de Jephan de Villiers, qui nous donne à tous les deux des idées pédagogiques.

 










12h15 : nous nous esquivons ; j'ai faim et comme nous sortons à 500 simultanément, après pas moyen de trouver une place dans les restos...
14h : retour en amphi, pour la dernière conférence. Nous nous postons au premier rang, car je veux pouvoir prendre les documents projetés en photos et enregistrer le conférencier, comme d'habitude. Comme ça, quand je reprends mes notes, j'ai le son et je vois les supports. Ma synthèse est plus complète. Du coup, Michel Fayol, le conférencier justement, vient discuter avec nous. Il fut instituteur, pendant 12 ans, puis docteur en psychologie, chercheur maintenant. Gentillesse, humilité, tact... Le monsieur me plaît beaucoup. Sa conférence est intitulée "Apprendre le nombre et les opérations ; que savons-nous des difficultés ?". Je profite de l'occasion pour lui parler de mes difficultés devant certains blocages de mes élèves. En cinq minutes, j'ai trois ressources directement utilisables en classe. Et cette magnifique impression ne se démentira pas pendant toute la conférence : ce monsieur en sait, des choses, et il sait aussi s'adapter à son public et transmettre. Je repars enthousiaste, sur ses derniers mots pour nous : avoir un socle , un référentiel de ce qu'il n'est pas permis d'ignorer, est important. C'est ça, la référence pour attribuer une note. Nos notes n'ont plus de sens : elles sont là pour hiérarchiser, quand elles devraient évaluer le socle. Pourquoi 10/20 lorsqu'il est maîtrisé, et pas 20/20 ?
Merci monsieur : j'ai appris et réfléchi, avec bonheur.
16h15 : retour à la cité scolaire pour rencontrer Nicolas Pelay, de Plaisir Maths, pour faire avancer un partenariat avec mon collège. Les choses se précisent, et j'espère finaliser très vite. Ca va être bien !!! Nous passons au stand d'HP pour le résultat du tirage au sort... J'en (encore) gagné une calculatrice. C'est la cinquième en un an!!! Cette fois elle est de type lycée, et je suis ravie. J'ai quand même une chance assez incroyable.

17h30 : vite, direction la bibliothèque et le cloître. Ah zut, l'expo à la biblio est annulée. Nous ne verrons pas de vieux boudins de maths, dommage. Mais au cloître, je récupère encore des documents, des ressources, j'achète un dernier bouquin, je prends les coordonnées de la compagnie théâtrale d'hier.

18h30 : départ. Nous rentrons chez nous.
20h40 : je retrouve ma maison. Après avoir enchaîné presque consécutivement Lyon et Laon, je suis bien contente de me poser pour un moment. Mais demain, il va falloir ranger tous ces sacs de boudins bouquins(pardon, je suis fatiguée), de jeux, de brochures...