(enseigner) La soustraction, c'est salement compliqué!

Aujourd'hui en sixième, nous effectuons une soustraction. En principe, la technique est acquise depuis plusieurs années. Mais au cas où des élèves aient oublié ou raté une étape, je préfère reprendre pour toute la classe et expliquer. Mon objectif est donc de vérifier les acquis et je ne m'attends pas à des difficultés particulières.

J'écris mon exemple :

Prof : comment la poser correctement?
Elèves : on aligne en colonne (la formulation est amusante mais nous avons tous compris) les dizaines avec les dizaines, les unités avec les unités, les dixièmes avec les dixièmes.

Bien. Voilà, donc. Mais nous nous heurtons à un problème : dans 5 dixièmes, il n'y a pas 7 dixièmes. Zut.

Prof : que faire ?
Elèves : des retenues madame, des retenues !
Bien à nouveau.
Prof : Où ça des retenues ?
Elèves : en haut et en bas. Comme ça :

Impec. 

Prof : Et alors, ensuite, je fais quoi ?

Elèves : je calcule 15 - 7.
Allons-y :

et donc, nous poursuivons, avec le placement de la virgule dans la foulée.

A ce niveau, je me dis que jusqu'ici tout va bien. Je scrute les élèves, j'essaie de deviner qui coince, qui doute, qui s'angoisse, mais je ne vois que des visages détendus et des regards attentifs.

Et là, paf :
Elève 1 : mais madame, pourquoi on met des 1 partout en fait ? Moi je le fais, hein, mais je ne sais pas pourquoi.
Elève 2 :  et madame, pourquoi il y a un 1 où vous mettez 1 et un autre où vous mettez +1?
Elève 3 : moi je ne comprends pas pourquoi on en met un en haut et l'autre en bas. C'est pas logique comme truc. Pourquoi on met pas les deux 1 en haut?

Aaaah, voilà ! Il me semblait bien que c'était trop calme.
Je dépile les questions et je commence à m'amuser :

Prof : d'abord, élève 2, j'écris 1 pour exprimer que j'ajoute une dizaine. Je passe de 5 à 15, ce qui rend possible le fait de retrancher 7.
En revanche, j'écris +1 pour faire comprendre que j'ajoute 1 au nombre considéré:

En répondant, je m'aperçoit que c'est complexe, ces histoires de 1 qui ne signifient pas la même chose.

Prof : Ensuite, élève 1, lorsque je transforme 5 en 15, c'est que je vais chercher 10 dixièmes ailleurs. Dans la colonne d'à côté, c'est ce qu'il y a de plus simple. Car une unité c'est dix dixièmes, comme nous l'avons vu au début de l'année. Je rétablis l'équilibre en effectuant deux transformations qui se compensent ; c'est juste un déplacement.

J'en arrive à la question de l'élève 3.
Et là, j'ai un moment d'angoisse. Il a raison, pourquoi n'ôte-t-on pas plutôt 1 au 2 du haut ???

Je réfléchis et un ange passe... Pourquoi n'ai-je pas souvenir de m'être posé cette question emprunte de bon sens ?
Ah, je sais, c'est tout bête. En l'écrivant je me rends compte : avec toutes les retenues en haut, des dizaines et des -1, le calcul deviendrait facilement illisible.

Cela reviendrait à effectuer ce calcul là : 

Mais nous, nous procédons ainsi, ce qui revient au même mais qui est plus lisible :

Pfiou.  Lundi, on en reparle pour voir si les élèves ont compris la nécessité des retenues et si ceux qui ont posé ces questions ont compris la réponse !