Le tour du monde en 80 jours de la semaine

Préambule pour les étudiants du CAPES : cet exercice est intéressant dans le cadre de l'oral 2, sur les thèmes d'arithmétique, et en particulier de congruence. On pourrait aussi l'utiliser dans "différents types de raisonnements".


Question posée en sixième :

Phileas Fogg part un jeudi pour faire son tour du monde en 80 jours.
Quel jour de la semaine revient-il ?

Précision apportée  l'oral en réponse à des questions d'élèves : on suppose qu'il part le matin, donc le jeudi "compte". Et on suppose qu'il rentre un soir, ainsi le jour demandé est le 80ème jour, le dernier jour de son voyage.

C'est un exercice que j'ai trouvé rigolo, et surtout qui me permettait de faire travailler les élèves sur la mesure du temps mais pas sur les conversion d'heures décimales. Mes objectif était surtout qu'ils travaillent sur la conversion jours-semaines, et qu'ils élaborent une stratégie qui les mène à diviser par 7 le nombre 80.
Là où ils m'ont surprise, c'est que personne n'a trouvé la bonne réponse. Et depuis, je l'ai posée à des élèves d'autres niveaux (5ème, 3ème, 2nde et terminale) et personne n'a trouvé de nouveau.
Ce qui est vraiment bien (je suis fière de vous les jeunes, on progresse), c'est que toutes les réponses étaient justifiées à l'écrit et que j'ai pu ainsi les analyser.

Premier type de propositions : on fait la liste des 80 jours.
Plusieurs élèves courageux ont tenté l'exhaustivité. Le problème, c'est que c'était long et surtout fastidieux. Personne n'a réussi à faire la liste des 80 jours sans se tromper (oublier un jour d'une semaine, compter deux jeudis de suite par exemple).

Deuxième type de propositions : ceux qui s'accrochent au système décimal.
Plus d'élèves que je ne le croyais sont en difficultés pour découper le temps autrement que par dizaines ou par centaines. Cela se constate sur les conversions heures-minutes ou heures secondes, et plus encore sur les calculs de durées, car ces élèves se trompent dans la gestion des retenues, en transformant chaque centaine de minutes en heure.
Pour travailler sur les semaines aussi, certains préfèrent compter de dix en dix.

Ces élèves ont rencontré au final les mêmes problèmes de "comptage de jours" que les autres, mais il est intéressant de voir comme les représentations mentales peuvent être différentes. Pour eux, compter par semaine ne signifie pas grand-chose. Un élève m'a expliqué qu'une semaine, ça voulait juste dire "pas tout de suite mais dans pas trop longtemps non plus", et un autre "il y aura eu un week-end entre deux et on aura pu faire la grasse mat'."

Troisième type de propositions : "une semaine, c'est du jeudi au jeudi"
C'est ce que j'ai trouvé le plus fréquemment, et de loin. Il y a confusion entre "on se revoit dans une semaine", ce qui signifie effectivement jeudi prochain si on est jeudi, et le fait qu'on est mercredi (soir, si on veut) lorsque Phileas Fogg a passé 7 jours de voyage en étant parti le jeudi.
Beaucoup d'élèves ont eu l'idée de diviser 80 par 7. Ils ont trouvé 11 et un reste de 3, ce qu'ils ont bien interprété : Phileas Fogg voyage pendant onze semaines et trois jours.

 Comme ces élèves prennent comme point de départ le jeudi pour compter les trois jours restants, cela les mène au dimanche au lieu du samedi. Mais la démarche que j'attendais y était, cependant, et l'erreur n'est pas purement d'ordre mathématique.

Quatrième type de propositions : les fantaisistes (cela dit avec beaucoup d'estime, attention !)

On y trouve un essai avec approximations dans tous les sens et contradictions incluses (1 mois c'est 31 jours mais 2 mois et 20 jours c'est 80 jours), des lots de 20 et de belles décompositions pour approcher de façon joliment artisanale le 80 fatidique.

 Enfin, une conclusion fausse mais pourtant cette fois la confusion semaine / 8 jours est plus subtile :

Le problème, c'est qu'ainsi il aurait fallu passer de jeudi à jeudi, puis de vendredi à vendredi, de samedi à samedi, etc. Cette élève a compté le jeudi "en double plusieurs fois", comme elle me l'a expliqué. C'était une bonne idée quand même.

PS : merci à M. de m'avoir copié les propositions des élèves de façon à préserver complètement leur anonymat.