Aïe ma tête !

Sur Numberphile, on peut visionner cette vidéo :

Il y est démontré que la somme des entiers naturels 1+2+3+... (jusqu'à l'infini) est égale à ... -1/12 !
Evidemment, cela heurte le sens commun. Une addition de nombres strictement positifs semble produire une somme positive. C'est comme si je déposais sur mon compte bancaire un euro, puis deux, puis trois, au final je serais à découvert.
Alors pourquoi ces deux mathématiciens parviennent-ils à produire une démonstration a priori crédible ?

Comme je ne pourrai pas l'exprimer mieux que Thomas Messias sur Slate, voici son explication :

" Cette démonstration date de 1735 et la doit au mathématicien suisse Leonhard Euler. Une démonstration pas tout à fait fausse. Mais pas tout à fait vraie non plus. Car en maths comme ailleurs, tout peut être question de point de vue. Au début du XIXe siècle, le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel formulait cette mise en garde:

Niels Henrik Abel

«Les séries divergentes sont une invention du diable, et c’est une honte de les utiliser dans la moindre démonstration.»

Or toutes les séries abordées ici sont divergentes, c’est-à-dire que la suite de leurs sommes partielles ne converge pas vers un nombre réel. Ce que veut notamment dire Abel dans sa recommandation, c’est que l’on peut faire dire ce que l’on veut aux séries divergentes selon la façon dont on les manipule."

Voilà. Le problème, c'est que le calcul ne fonctionne pas de la même façon dans une expression finie, avec un début et une fin, que dans une expression infinie, avec des points de suspension tout à fait pervers.

On pourrait s'arrêter là. Mais... Il y a un mais. Sur le site Sciences étonnantes, voici ce qu'on découvre :

" Cela peut vous paraître choquant, vous pouvez chercher la faille, ou vous imaginer que l’on peut démontrer n’importe quoi de ce genre en tripotant des sommes infinies. Eh bien non, si on respecte quelques règles élémentaires, quelle que soit la manière dont on s’y prend, on trouve que si on veut affecter une valeur finie à cette somme monstrueuse, alors -1/12 est l’unique valeur qui colle.
Tout cela a-t-il un sens ?

Du point de vue strictement mathématique, on peut donner un sens formel bien défini à ces calculs. Il suffit juste de généraliser un peu la notion de somme infinie. Ce qui est plus drôle, c’est que cette somme infinie bizarre joue aussi un rôle important en physique théorique.Pour ma part, je l’ai croisée pour la première fois lors d’une étude sur l’effet Casimir. Cet effet (qui n’a rien à voir avec l’île aux Enfants) a été prédit par le physicien hollandais Hendrik Casimir, et prévoit que deux plaques parallèles conductrices placées dans le vide vont s’attirer à cause des fluctuations de l’énergie du vide. Et pour calculer la force subie par les plaques, on utilise l’égalité 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12 ! Et ça marche, car cette force a été mesurée expérimentalement !
Mais il existe une autre branche de la physique où cette égalité joue un rôle essentiel, il s’agit de la fameuse théorie des cordes. "

L'auteur de l'article explique tout cela de façon plus approfondie ; n'hésitez pas à y jeter un coup d'oeil, c'est intéressant.