Tout est une question d'équilibre

Au mois de décembre, nous avons parlé équations, en quatrième. Les élèves avaient bien digéré les règles de calcul littéral et étaient curieux d'appliquer leurs connaissances à des résolutions de problèmes. Autrement dit : mais madame tout ça est bien joli, mais à quoi ça sert ?

Voici l'extrait de programme relatif aux équations :

La méthode experte n'est pas exigible. Parfait : je peux développer mes explications comme j'en ai envie, en imageant mon propos, mais je me fixe pour objectif de faire comprendre le principe de l'équilibre dans une équation, équilibre indiqué par le signe "=".  Ensuite, chacun ira aussi loin qu'il en est pour le moment capable, et arrivera en troisième avec des acquis dans ce domaine de toute façon. Autrement dit, j'essaie de donner du sens à la notion d'équation, de mettre en évidence comme c'est simple, mais je n'exige aucune formalisation.

Nous avons donc creusé, sans que cela ne nous prenne un temps considérable. Au final, je crois que les principes de base de la résolution d'équations du premier degré sont passés mieux que d'habitude.

Nous avons commencé par cette activité, de l'excellent manuel Mathenpoche :

C'est une activité qui marche toujours bien : elle est simple, mais ensuite on peut s'appuyer sur les règles mises en évidence pour construire toute la suite.

Ensuite, j'ai sorti ma balance.
Comme des collègues m'avaient dit vouloir avoir ce que ça donne "en vrai", la suite de la séance est en vidéo. Les parents des élèves visibles ou qui interviennent de façon identifiable ont donné leur accord sans hésiter, et je les en remercie.

On démarre l'activité, et on se cale. La classe étant relativement sportive à tenir, je m'étais préparée à les laisser se lever, mais avec un peu d'appréhension. En fait tout va bien se passer car l'activité les a intéressés.

Dans cette première partie, je leur explique le principe de l'activité, et je fais le lien avec l'activité de Mathenpoche sur les billes.

Ensuite, nous commençons à manipuler pour résoudre. J'essaie de toujours faire le lien avec l'activité des billes et certains élèves percutent tout de suite. Sacha, à mes côtés, en sautille sur place tellement il a envie de répondre aux questions. J'insiste sur l'équilibre, sur le sempiternel"des deux côtés".

Nous en arrivons à résoudre l'équation.

Ensuite, deuxième exemple, avec une inconnue qui n'est pas en forme de X et dans laquelle l'inconnue figure deux fois. La proposition de Maxime est intéressante : x+x+x+1+1+1+1+..., et Sacha continue de percuter assez remarquablement. Vous aurez aussi droit aux remarques liées à l'usage de la caméra. Ils sont habitués, mais il faut bien faire un peu les andouilles...

A la fin de cette étape, nous avons modélisé. Nous avons écrit mathématiquement l'équation que nous observons dans la balance.

Ici, bonne nouvelle, le caméraman a trouvé comment zoomer. Mauvaise nouvelle, ça donne envie de vomir.

Comme la plupart des élèves ont compris, le bruit monte, jusqu'à ce que nous nous reposions des questions qui leur occupe l'esprit. Cette fois, mon objectif était de leur montrer que comme dans l'activité des billes, on pouvait additionner ou soustraire une même quantité dans les deux plateaux, mais aussi diviser ou multiplier par une même quantité (non nulle, si on divise).

Le bilan : que faut-il retenir ? Là, vous noterez que dans l'enthousiasme, j'écris la "bonne réponse" avant que les élèves ne me l'aient donnée. C'est mal. Ce qui est rigolo, c'est qu'ils réfléchissent quand même avant de répondre.

Ma synthèse est peu rigoureuse mais je me reconnais bien (et ça m'agace, d'ailleurs) : "Quand vous faites un truc d'un côté, faut faire le même truc de l'autre."

Add-on 1 : avant de ranger la balance, je me suis dit que je pourrais en profiter pour revenir sur les priorités de calcul. Transmettre l'idée que les opérations doivent être menées dans un certain ordre. En troisième ou au lycée, je vois beaucoup d'élèves essayer de se "débarrasser" des nombres parasites autour de l'inconnue d'une façon assez irrationnelle. J'essaie donc de raccrocher encore quelques wagons à mon activité.

Add-on 2 : réponse aux questions. Ca commence à flotter : c'est difficile, pour des élèves, de s'écouter les uns les autres. Il est temps que tout le monde retourne à sa place et s'attelle aux exercices d'application. Pour autant, j'ai réussi à accrocher deux élèves en grande difficulté, qui répondent et posent des questions.

On voit dans un des plateaux de la balance mes petits bouts d'épluchure de mes clémentines du midi, qui m'ont sauvée : mes objets avaient les bonnes masses avant cuisson, mais pas après... Du coup ma balance était plus ou moins bien équilibrée et j'ai dû tricher. 

D'où la jolie morale d'Alex, qui clôt bien cette partie de la séance.