A la vôtre !

Une amie, Laurence, m'envoie il y a quelques jours le message suivant :

Des voisins font une fête au-dessus de chez toi. Tu entends 36 "tchin". 

Combien sont-ils ?

Mon amie m'a envoyé plus tard le brouillon de ses réflexions, mises en commun avec son mari et ses enfants. Ils ont trouvé la solution, mais emprunté des chemins différents.

Sur la partie de gauche, c'est Laurence qui a réfléchi. Elle est tout de suite passée par la représentation visuelle, avec un graphe. C'est un graphe complet : chaque sommet est relié à tous les autres, puisque chaque personne trinque avec chacun des invités. Elle a développé son graphe jusqu'à ce qu'il compte 36 arêtes. il fallait 9 sommets, il y a donc 9 voisins.

Stéphane, lui, est passé par une approche plus abstraite, plus formellement mathématique, et il l'explique à ses enfants : avec 1 voisin, pas de "tchin". Avec 2 voisins, 1 "tchin". Si un troisième voisin arrive, il ajoute deux "tchin". Le quatrième, en trinquant avec les trois qui étaient déjà là, ajoute trois "tchin". Il s'agit donc de calculer 1+2+3+4+... jusqu'à ce que la somme donne 36. Là, Stéphane se souvient que la somme des entiers consécutifs jusqu'à n vaut n(n+1)/2. Il en arrive donc à devoir résoudre n(n+1)/2=36, soit n(n+1)=72. Le brouillon n'indique pas si il utilise une méthode formelle ou si la liste d'additions en haut à droite lui suffit. Il y a un goût de trinôme dans le coin en haut à gauche, mais avec 36 au lieu de 72 et aucune résolution n'est apparemment entamée.

Moi, au moment où je reçois le message, je suis en train de regarder une série britannique et je n'ai rien pour écrire sous la main. Comme à ce moment là j'ignore si résoudre cette énigme est "urgent" ou pas (un jour il a été question de résoudre une énigme pour gagner l'apéro dans un restaurant, alors je prends immédiatement la chose très au sérieux), je me mets avec enthousiasme en tête de la résoudre rapidement et sans écrire. C'est ce "sans écrire" qui est intéressant : je pense qu'avec une feuille et un stylo j'aurais modélisé une suite comme Stéphane. Mais là, il faut que tout se passe dans ma tête de façon étanche.
Voici comment je procède : chaque "tchin" correspond à deux mains (je visualise les mains qui s'avancent l'une vers l'autre avec leur verre, pour trinquer). Il y a donc 72 mouvements de mains. Or chaque personne trinque avec tout le monde sauf elle. Le nombre de "tchin" est donc le produit de deux entiers consécutifs. Le problème se ramène alors à la problématique suivante : il faut que je trouve deux entiers consécutifs dont le produit est égal à 72. C'est facile, car 72 est un "grand" nombre (au sens tables de multiplication qu'on apprend à l'école), présent dans les tables de 8 et 9 seulement... Bingo, il y a donc 9 voisins qui chacun trinquent avec 8 voisins.

Et vous, comment l'auriez-vous résolu ?