L'algorithmique chez les chiens de berger

Un article du Figaro daté du 28 août dernier annonce que "Le chien de berger agit selon un simple modèle mathématique". En fait, c'est plus compliqué que cela, mais "un calcul simple permettrait d'accomplir une tâche d'apparence très complexe: rassembler les moutons lorsqu'ils se dispersent, et les pousser vers l'avant lorsqu'ils sont de nouveau réunis". Le hic: "les mathématiciens de l'équipe, qui ont testé d'autres modèles, se sont toutefois heurtés à des simulations qui n'ont pas été concluantes. «Les autres modèles ne semblent pas capables de garder des troupes de grande taille. Dès que le nombre d'individus dépasse la cinquantaine, il faut commencer à ajouter des bergers ou des chiens»".

J'entends déjà des ronchons ou des allergiques aux maths demander "A quoi ça sert tout ça ? Les chiens de berger, pas besoin de recherches pour qu'ils fassent leur boulot". Certes. Sauf que ces travaux pourraient trouver d'autres applications :  "pour tenir les animaux à l'écart de zones dangereuses, mais aussi pour la gestion de mouvements de foule ou le nettoyage de l'environnement", et dans la robotique. Comme le dit le monsieur des Contes mathématiques à la fin de l'épisode sur le nombre pi, "en mathématiques parfois, le résultat est moins intéressant que ce que l'on débusque sur son chemin."

Pi passe sur le billard

Le mathématicien qui présente cette vidéo (c'est encore Numberphile) commence par expliquer son protocole et la question posée : on dispose d'une boule de masse M et une plus petite boule de masse m (M est supérieure à m), posées sur une table de billard. M et m ne sont pas choisies n'importe comment : M peut valoir 16 fois celle de m, ou 1600 fois celle de m, ou 160000 fois celle de m, etc. Autrement dit, 16 suivi d'un nombre pair de zéros fois la masse de m, ce qui peut s'écrire :

où le nombre N est un entier positif. Ca peut vous paraître compliqué mais ne décrochez pas, car franchement la suite en vaut la peine, c'est complètement dingue.

La plus grosse boule est lancée et va entrer en collision élastique avec la plus petite boule, la mettant donc en mouvement. La petite boule se déplace jusqu'à heurter une des bandes de la table de billard, de façon élastique également. La petite boule repart dans l'autre sens et heurte à nouveau la grosse boule, et ainsi de suite. La question est : combien faut-il de chocs pour que la grosse boule reparte en sens inverse ?

La réponse est assez remarquable : il en faut un nombre donné par les N+1 premiers chiffres de l'écriture de pi. Si la grosse boule pèse 16 fois plus que la petite, il faut 3 collisions, car le chiffre des unités de pi est 3. Si elle pèse 1600 fois plus, il faudra 31 chocs (dans 1600, il y a une fois deux zéros, on garde donc 1+1 chiffres de pi, soit le 3 des unités et le 1 des dixièmes).

On voit ici que si la grosse boule pèse 160000000000 fois plus que la petite, soit 16x10000000000, soit 16x100x100x100x100x100,  on a cinq multiplications par 100, ce qui signifie qu'on gardera les 5+1 (ça fait 6, oui oui) premiers chiffres de pi ; comme pi commence ainsi :

on aura donc 314159 collisions.

C'est extraordinaire. Cerise sur le gâteau, la suite de la vidéo explique de façon claire pourquoi pi et ses décimales pointent leur nez là-dedans. J'ai raconté ça à tout le monde chez moi tellement c'est chouette comme résultat.

Des infinis, des paradoxes, des étoiles et des contraires

Je suis allée voir Nos étoiles contraires avec des amies. Pour faire court, c'est triste et assez fidèle au bouquin. Mais là n'est pas mon propos.

Je cite John Green, l'auteur du roman :

Les amoureux de Nos étoiles contraires

Comme je ne peux pas parler de notre histoire d’amour, je vais parler de maths. Je ne suis pas très forte en maths, mais je sais une chose : il existe des nombres infinis entre 0 et 1. Il y a par exemple : 0,1 et 0 ,12 et 0,112 et toute une ribambelle d’autres nombres infinis. Evidemment, l’ensemble de nombres infinis compris entre 0 et 2 et 0 et 100 000 est beaucoup plus important que celui compris entre 0 et 1. Certains infinis sont plus vastes que d’autres, nous a appris un écrivain qu’on aimait bien, Augustus et moi. Il y a des jours, beaucoup de jours où j’enrage d’avoir un ensemble de nombres infinis aussi réduit. Je voudrais plus de nombres que je n’ai de chances d’en avoir et, pour Augustus Waters, j’aurai voulu tellement plus de nombres qu’il n’en a eus. Mais, Gus, mon amour je ne te dirai jamais assez combien je te suis reconnaissante de notre petite infinité. Je ne l’échangerais pas pour tout l’or du monde. Tu m’as offert une éternité dans un nombre de jours limités, et j’en suis heureuse.

On peut écrire des histoires émouvantes et rester rigoureux mathématiquement, monsieur Green. Et là, ces histoires d'infinis, ça tangue un peu.

C'est monsieur Cantor qui a beaucoup bossé sur la "taille" des infinis. Jean-Paul Delahaye a écrit un document que je trouve très efficace à ce propos, que vous trouverez ici et dont voici un extrait, sur le côté.

Cet extrait devrait répondre aux interrogations de mes deux amies, qui m'ont expliqué sentir qu'elles ne comprenaient pas l'idée d'infini, d'inaccessibilité de cette notion. En réalité, je ne la perçois sans doute pas mieux. Mais comme j'ai appris la théorie des ensembles, le dénombrable et le non dénombrable, comme on m'a enseigné Cantor, Hilbert et tout ça, je considère sans doute l'infini davantage comme un outil que d'un point de vue philosophique. J'avais même rédigé un écrit à la fac sur le thème"infini des mathématiciens et infini des philosophes" car j'avais choisi une UV poétiquement intitulée F115 et qui m'a fait suivre des cours en fac de philo. Mais dans le fond, mes amies considèrent peut-être l'infini d'une façon plus juste intellectuellement. 

Cantor, jeune. Même les grands matheux ont été jeunes.

Le film évoque aussi le paradoxe d'Achille et la Tortue, aussi appelé paradoxe de Zénon d'Elée. Vous en trouverez ici, là et encore là des formulations et des explications.

Enfin, John Green a écrit bien d'autres choses, mais ce qui est amusant c'est qu'en parcourant les rayons de la grande librairie jeunesse du coin, je me suis arrêtée devant un livre dont il m'a semblé qu'il faudrait que je parle un jour sur ce blog : le théorème de Katherine, à la couverture explicitement mathématique. Je n'ai réalisé qu'aujourd'hui, en me renseignant sur John Green pour écrire cet article, qu'il en était également l'auteur. Ce monsieur semble avoir un intérêt naturel pour les maths et il faudra que je lise aussi celui-ci. Et pour finir, en cherchant des infos sur John Green et les maths, j'ai trouvé cette vidéo (en anglais) :

Sacré Charlemagne

C'est le nom du blog d'un collègue, que vous pourrez lire en cliquant ici. Il m'a bien plu, et je vous le conseille.

En particulier, j'ai pensé à mes jeunes collègues, avec lesquels j'ai travaillé cette semaine pour préparer leur première rentrée. Beaucoup d'articles se réfèrent aux thèmes que nous avons abordés ensemble : quelques pistes sur l'autorité, 17 mots pour un bon prof, la construction de séquences, la sanction, le premier cours. Et puis mon attention a été attirée par l'article sur la bienveillance. Cela fait un moment que j'essaie d'ailleurs d'y consacrer un article, mais j'ai du mal à formuler ce que je voudrais vraiment dire, et ce n'est donc pas pour tout de suite.

Sainte Geneviève a le rythme dans la peau !

Sur ce blog histoire-géo, j'ai découvert la vidéo du collège Sainte Geneviève de Saint Jory. L'établissement privé catholique, qui regroupe 27 classes de la maternelle à la troisième, a réalisé là une très chouette vidéo.

Des feuilles de papier à télécharger

Sur le très bon blog de Fabrice Arnaud, on peut télécharger des feuilles quadrillées, millimétrées, pointées, plus ou moins foncées, des rapporteurs avec ou sans graduations, etc. Pour projeter au tableau, c'est très pratique. C'est ici et là.

Dix bonnes raisons (pour moi) d'aborder la rentrée avec le sourire

1. Parce que faire le tête, c'est pénible pour tout le monde
2. Parce que mon boulot est passionnant
3. Parce que je vais pouvoir mettre en oeuvre les projets sur lesquels j'ai bossé tout l'été
4. Parce que je veux encore des solides mous, des pavés gauches, des pokeboles et tout ça
5. Parce que je commence à toupiner
6. Parce que mon cartable est tout prêt avec une jolie trousse et un bel agenda (je crois que depuis le CP je n'ai pas changé d'un pouce sur ce point...)
7. Parce qu'il va falloir réfléchir
8. Parce que je vais faire moins d'heures que l'année dernière et sans doute pouvoir être juste débordée, pas noyée sous le boulot
9. Parce que je suis prête moi aussi
10. Parce que par exemple ça: