Denise Masvigner : son cahier

Mon mari m'a dégotté et offert un cahier. J'aime beaucoup les vieux cahiers de maths : on y apprend des tas de choses, sur l'époque, sur les gens, et puis c'est émouvant d'avoir entre les mains un objet s-dont on imagine qu'il a recueilli concentration, application, à une autre époque.
Après Josette, voici donc Denise.

La couverture du cahier : allégorie des mathématiques?

Denise Masvigner ne se présente pas, dans son cahier... J'ai farfouillé par-ci, par-là, mais je n'ai pas trouvé grand chose. Denise était en "2ème année" en 1940-41, en "3ème" en 1941-42. Ces dénominations de niveaux de classes ne correspondent pas à celles en usage en France à ce moment-là. Sans doute Denise était-elle belge : la 2ème année correspondrait alors à notre 4ème de collège, et elle aurait eu 13 ou 14 ans en 1940. Au vu du contenu du cahier, c'est possible. Denise aurait pu être l'une de ces jeunes filles...

Que raconte ce cahier ?

• D'abord, il présente des tâches similaires de celles que nous enseignons à nos élèves, mais souvent avec un vocabulaire autre :

equimultiples 

Ca, je viens de la faire en cinquième...

la règle des signes

Le "produit en croix" (berk) 

calcul littéral 

l'apothème 

Thalès, sans Thalès.

J'avoue beaucoup aimer ce vocabulaire, ces formulations. j'ai bien conscience qu'il n'est plus possible de s'exprimer directement ainsi en classe, au risque de n'être compris de personne. Mais c'est si joli...

• Il y a aussi ce qu'on ne fait plus :

Les mesures algébriques... Ce que j'aimais ça, au collège !

Allez, encore un peu démesurés algébriques, juste pour le plaisir. 

Les systèmes, disparus du programme actuel du collège

De la géométrie "à l'ancienne".

• Les pratiques pédagogiques :

Les correction sont apportées avec soin et en couleur. Mes élèves, eux, tiennent souvent à les porter en vert...

Le cahier contient une multitude de problèmes de ce type : des histoires de vitesses, de remplissage ou d'écoulement, etc.

Le cahier est vérifié et corrigé par l'enseignant 

Violent... 

Deux parties figurent dans le cahier : la première, l'algèbre

et la deuxième, la géométrie.

Concernant ces deux dernière photos, il est intéressant de remarquer que l'enseignant mène de front l'algèbre et la géométrie. Certains jours, il a étudié un peu des deux. La progression spiralée n'est pas une nouveauté... même si ici ce n'est pas vraiment spiralé. Mais il n'est manifestement pas question de ne travailler qu'un thème pendant une période continue.

C'est une petite merveille, ce cahier : parce qu'il est beau, avec une écriture, un soin qui sont remarquables, et bien loin des travaux de nos élèves actuellement (même si je suis la première à être très indulgente sur la forme, la propriété : je veux du fond bien plus que de jolis éléments de surface), et puis il est bourré de fautes, d'erreurs, de compréhensions erronées. Et ça, c'est vraiment intéressant. Je vais me pencher plus avant sur ces traces là : Denise semblait en difficultés, globalement, en maths, et on mesure dans son cahier comme elle essayait d'appliquer des recettes sans les comprendre. 

Et puis je vais rédiger un autre article aussi, sur les copies de Denise. Car je n'ai pas que son cahier, j'ai aussi des copies !

Géométrie contre takymétrie ?

J'ai reçu en cadeau un vieux bouquin de maths, intitulé "Arithmétique et Système métrique", de messieurs Brouet et Haudricourt. Il s'agit en fait d'un "livre de l'élève", qui avait été adopté par la ville de Paris, entre autres, pour ses écoles communales. Le programme en application est celui de 1903.

Le manuel commence par une "division mensuelle", une programmation pour nous, ce qui est assez original par rapport aux autres vieux bouquins dont je dispose. L'année commence en octobre et s'achève en août. Chaque mois propose de parcourir des notions de plusieurs domaines, parmi arithmétique, géométrie, système métrique, algèbre, arpentage et takymétrie.

Takymétrie ? Comment ça, takymétrie ?? Mais qu'est-ce donc que la takymétrie ???
Je vais à la première page de "takymétrie", et je cherche une définition. Peine perdue. On fait de la takymétrie en sachant déjà ce que c'est, visiblement, en 1903. Alors j'explore, pour comprendre :

L'opposition "formule géométrique"/"formule takymétrique" m'a laissé perplexe. C'est sur le site de l'Ifé que j'ai trouvé des réponses intelligibles, dans un article de Claude Georgin du "nouveau dictionnaire de pédagogie et d'instruction primaire" sous la direction de Ferdinand Buisson, et qui date de 1911 :
" La géométrie classique est une science fort étendue, souvent très abstraite, dont l'étude exige beaucoup de temps et qui n'est accessible qu'aux esprits déjà exercés ; mais c'est aussi un excellent procédé de culture intellectuelle. On ne peut songer à l'introduire dans l'enseignement élémentaire. Toutefois, il est possible d'en détacher les principes qui sont d'une application immédiate, c'est-à-dire les règles relatives au mesurage. Dans les circonstances ordinaires, sur un chantier, un métreur, un appareilleur, qui savent calculer exactement et possèdent bien les formules trouvées par la géométrie savante, pourront mesurer aussi bien qu'un géomètre consommé.
La science des formules géométriques est donc indispensable à la plupart des hommes. Mais si cette connaissance repose uniquement sur la mémoire, on doit craindre que de graves erreurs ne se commettent facilement. En présence de cette double difficulté, insuffisance du temps d'étude et défaillance possible de la mémoire, il était nécessaire de composer une géométrie très simple, à la portée des gens peu instruits, et propre à faire comprendre les règles aux personnes qui ne peuvent suivre des démonstrations savantes et rigoureuses.
Un ingénieur distingué, M. Lagout, a cherché à vulgariser cette géométrie populaire, à laquelle il a donné le nom de tachymétrie ou takymétrie (du grec tachys, prompt, accéléré, et métron, mesure), « géométrie rapide ». La tachymétrie se borne aux faits indispensables, aux applications courantes ; en même temps, elle montre, elle fait voir ; elle n'a pas la prétention d'offrir aux élèves des démonstrations mathématiques, mais elle y prépare très heureusement.
Il n'est pas d'instituteur qui n'ait eu recours à la tachymétrie, souvent sans le savoir : lorsque, pour expliquer la règle du calcul de la surface d'un rectangle de 7 décimètres de long sur 3 décimètres de large, par exemple, nous décomposons ce rectangle, en trois bandes longitudinales de chacune 7 décimètres carrés, nous employons un procédé tachymétrique, nous faisons voir que le rectangle dont il s'agit contient 3 fois 7 décimètres carrés, ou un nombre de décimètres carrés exprimé par 7 x 3, c'est-à-dire par la longueur multipliée par la largeur ; ce qui justifie la règle. (...) La tachymétrie n'est pas autre chose que l'application persévérante de ce procédé, limitée aux faits géométriques des affaires usuelles. Elle n'exige donc ni beaucoup de temps ni une instruction développée. "

Donc en fait la takymétrie consiste à manipuler, à expérimenter pour comprendre certaines mesures, de surface ou de volume par exemple. Et je suppose que les "formules géométriques" sont en fait les mêmes, mais obtenues par exemple grâce au calcul intégral. Claude Georgin poursuit :

" Tout le monde sait que le rapport de la circonférence au diamètre ne peut être exprimé exactement en nombre ; il est approximativement 3, 1416 ou 3 1/7 ou 22/7. Dans les calculs écrits qui demandent une grande précision, on emploie 3, 1416 ; dans le calcul mental et approximatif, on se sert de 3 1/7 ou même de 3 1/10. La longueur d'une circonférence quelconque est égale à celle de son diamètre multipliée par 3, 1416 ou 3 1/7. Il n'est ni plus simple, ni plus exact de dire, comme le fait la tachymétrie, qu'elle est égale à la longueur du diamètre multipliée par 3 3/20, ou encore au périmètre du polygone à six pans, augmenté du sou par franc ou du 1/20 de sa valeur. "

Ouhlaaaaa, autre époque... Pi " ne peut être exprimé en nombre ", ok, je comprends l'idée mais la formulation est pour le moins contestable. Quant à l'utilisation de la valeur approchée adjacente à l'idée d'égalité, ça pique.

Quels autres pages notables :

Je suis tentée de donner ce devoir à mes élèves : c'est tout à fait le thème "donner du sens aux opérations".

Les nombres complexes comme nous ne les avons jamais vus ! En fait, on travaille les nombres complexes dès l'école !

Les illustrations sont assez extraordinaires.

Leçon vue durant la période écoulée, à un siècle d'écart.

Ah bon ? C'est quoi cette notation ?

 Merci, BA, pour ce bouquin ! :-)

Les nombres et les autres

Lundi, en sixième, nous avons résolu et discuté d'une activité qui permettait de découvrir la numération égyptienne, romaine, babylonienne et maya. Nous nous sommes intéressés aux deux premières, sur cette séance.
Nous avons dressé une liste des avantages et des inconvénients de chacune de ces deux numérations. Je vous livre les propositions des mes élèves : à leurs yeux, la numération égyptienne a pour avantage d'être jolie, d'être rigolote, de ne pas nécessité d'ordonner les symboles, d'utiliser seulement neuf symboles, de se lire en additionnant, de ne pas être positionnelle mais sommative (un élève m'a dit ça, comme ça). Et comme inconvénients d'être longue à transcrire, de ne pas permettre de représenter facilement les très grands nombres, de nécessité des talents de dessinateur.
La numération romaine a pour avantage de n'utiliser que sept symboles, de disposer de symboles faciles à réaliser, d'être plus courte. Mais comme inconvénients d'obliger à réfléchir et à effectuer des additions et des soustractions, d'être moche (et paf, dans la tête), de ne pas permettre de représenter les grands nombres facilement, de ne pas être lisible intuitivement, et, argument qui m'a frappée, de pouvoir être confondue avec des lettres :
Prof : " Etre confondue avec les lettres I, X, C, tout ça ? C'est ce que tu veux dire ? "
Elève : " Ben oui : si je vois écrit DIX, par exemple, ça peut être "dix" ou alors ça fait 59 ! Comment on est censé deviner ? Un coup c'est des chiffres, un coup c'est des lettres, et pourtant c'est pareil ! Moi je trouve ça flippant. "
Prof : " Ah oui il est bien choisi, ton exemple. J'aime bien cet argument, tu vois, du coup. "
Elève : " En fait c'est parce que quand j'étais petit j'ai dit un jour "Louis xi" au lieu de "Louis XI" et j'ai eu trop la honte comment tout le monde s'est moqué. Mais c'était pas ma faute, comment j'étais censé savoir ? "

Plus tard, des élèves reviennent à la charge sur ce thème :
Elève : " Madame, pourquoi en histoire on utilise encore des nombres romains alors que c'est moins pratique ? "
Prof : " Qu'en pensez-vous, tous ? Que pourrait-on répondre à votre camarade ? "
Elève 1 : " C'est parce que les historiens ils savent compter que comme ça ? "
Elève 2 : " Ou parce que ils aiment bien les trucs vieux ? "
Elève 3 : " Ou alors c'est parce qu'ils sont pas forts en maths, ils savent pas faire avec les positions des chiffres, ils préfèrent compter. "
Elève 4 : " Peut-être ils trouvent ça fait plus classe."

Connaissez-vous sir William Rowan Hamilton ?

Pour ma part, je ne connaissais que le théorème de Cayley-Hamilton :

Toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique.

Mais sir Hamilton ne se résume pas à cela... Sir William Rowan Hamilton était un mathématicien, physicien et astronome irlandais, né en 1805 à Dublin, et mort en 1865. Hamilton fut un enfant prodige, qui très tôt maîtrisa plusieurs langues. A 14 ans, William parlait couramment 14 langues dont l'hindoustani, le malais et le bengali... Adolescent, il se pencha sur les Principia de Newton, sur la Mécanique céleste de Laplace. Entré au prestigieux Trinity College de Dublin, il fut un étudiant particulièrement brillant, mais assez tôt malheureux, particulièrement en amour. Ses déceptions le menèrent à l'alcoolisme, la dépression et la poésie.

Hamilton a travaillé sur le calcul différentiel, les nombres complexes, les quaternions, entre autre.

Un biographie très complète est en ligne ici :

" Alors qu'il se promène avec son épouse le long du Royal Canal à Dublin, il se rend subitement compte qu'on ne peut pas donner une structure multiplicative aux triplets de nombres réels, mais qu'on peut le faire pour les quadruplets. Tout excité par cette découverte, en traversant le Brougham Bridge, il aurait inscrit sur une des pierres du pont la formule de multiplication."

Mais si je vous parle de ce monsieur, c'est que je suis tombée sur cette vidéo :

Vous comprenez, il fallait que je partage ma découverte...

Mon projet d'EPI : maths et histoire, la Renaissance

Avec une collègue, nous allons mener un EPI maths et histoire sur le thème de la Renaissance, au deuxième semestre. L'idée est d'apporter des contenus au fil de l'année, pour que les élèves se répartissent en groupes et choisissent un des thèmes. Ils élaboreront une sorte de dossier, et le mettront en forme de sorte que nous puissions rassembler tout ça dans un Prezi.

Pour le moment, j'en suis aux pistes, un peu creusées. j'ai de la biblio, mais il faut que je précise les liens avec les contenus mathématiques. A chaque fois j'ai une idée, mais parfois ses contours sont plutôt flous...

Voilà ce que ça donne :

On ne voit rien, c'est ça ?

Les cahiers péda se consacrent aux maths

Le dernier numéro des Cahiers Pédagogiques consacre son dossier aux maths. Coordonné par Guillaume Caron et Rémi Duvert, le dossier aborde sous différents angles l'enseignement des maths, ses liens avec la culture, les autres disciplines, l'histoire de son enseignement, etc. Facile à lire, intéressant, très actuel et concret, je vous le conseille. Et je remercie Guillaume de m'avoir contactée pour en écrire un petit morceau, et contribué à ce dossier qui me semble très cohérent et tourné vers la réalité du métier et des élèves.

Il n'y a qu'en mathématiques que la vérité est belle

Cette phrase est issue de la page 115 du livre écrit par Yan Pradeau et publié cette année aux éditions Allia : Algèbre, éléments de la vie d'Alexandre Grothendieck.
Ce petit livre (je l'ai lu en une soirée, car il est court, assez captivant et la lecture en est aisée,g^race à des mots bien choisis et une harmonie de la composition) figurait dans les nouveautés de ma bibliothèque municipale ; grâce aux choix d'un bibliothécaire j'ai donc pu le découvrir.

Difficile de dire s'il s'agit d'un roman, d'une biographie. Vu l'opacité (entretenue par Grothendieck lui-même) autour du personnage et à la lecture de certains passages forcément imaginés, il est évident que ce n'est pas une franche biographie. Pourtant, l'auteur s'est soigneusement documenté, a mené des recherches qui permettent de refermer l'ouvrage avec le sentiment net d'en savoir plus sur Grothendieck. Lui-même qualifie son livre de "biographie romancée", d'"oeuvre hybride".

Grothendieck a eu une vie très, très particulière Pas seulement parce que c'était un homme d'exception, manifestement exceptionnellement doué pour la mathématique. Il apparaît comme un homme complexe, entier, hors normes sur bien des plans. Mais au travers d'Algèbre, on traverse aussi l'Europe et les époques de la famille de Grothendieck. 

Yan Pradeau est professeur de mathématiques (et aussi musicien, chansonnier, poète, saxophoniste, journaliste musical, réalisateur de courts-métrages, photographe. Il a enregistré deux disques en tant que leader du groupe Malakoff. Et aussi écrivain, sans aucun doute). Dans la vidéo ci-dessus, il explique ce qui l'a amené à écrire ce livre : la personnalité et l'histoire exceptionnelles de Grothendieck n'ont pas été l'amorce de l'envie d'écrire, mais plutôt une résonance avec l'histoire personnelle de Pradeau, avec entre autre le "déclassement pas le haut" dont il parle et une impression d'être "nulle part". C'est sans doute cette résonance qui donne ce mouvement au texte : je l'ai trouvé extraordinairement vivant, ancré dans la vie dans ce qu'elle exige de combat, naturellement.

"Lorsqu'une énigme le captive, Shourik {Alexandre Grothendieck} y plonge à corps perdu, abstrait du monde qui l'entoure. Pour cela, les mathématiques sont idéales. Une feuille, un crayon, du temps et un monde infini de problèmes à résoudre. Le remède souverain contre l'ingratitude du réel. Le pouvoir d'une belle démonstration, la sensation de maîtriser, un peu, sa vie."

Cette citation m'a touchée très directement. Je suis bien plus enseignante que matheuse (encore plus bas que les tâcherons que décrit Grothendieck : mon métier n'est même pas de faire des maths, mais de donner à d'autres l'envie d'en faire et, plus encore, l'envie d'apprendre et de grandir), mais ce sont bien de mes mathématiques que cet extrait parle.

Le site de référence sur Alexandre Grothendieck, Grothendieck Circle, est ici.

Quand les maths pédalent dans la semoule

Je ne le connaissais pas, mais le youtubeur Steve Mould propose de petites vidéos sympas. Dans celle-ci, il joue de la table en métal avec un archet, et des grains de semoule gigotent. On y croise Sophie Germain et Gauss, et le phénomène qu'il montre est assez impressionnant.

Ici, vous pourrez visionner la vidéo avec sous-titres.

Une prof de maths chez le bouquiniste

Aujourd'hui, nous sommes allés à Quevreville la Poterie, chez le bouquiniste. C'est une sortie régulière lorsque nous sommes tous les deux : nous avons le temps de fureter, de nous perdre dans le labyrinthe de bouquins éclectiques et ordonnés selon des critères qui demeurent, même après réflexion, fort confus.
Toujours est-il que j'en ai ramené quelques nouvelles acquisitions. Des romans pour le côté Claire (je n'ai rien trouvé sur Flora Tristan, zut), et des bouquins de maths ou de pédagogie pour le côté madame Lommé.

D'abord, sur le haut de la pile : Penser les mathématiques. Il s'agit d'un séminaire de l'ENS sur les "rapports cruciaux des mathématiques avec le langage d'une part, avec la réalité d'autre part". Voilà un programme alléchant...  Ben si, je suis sérieuse !

Ensuite, Le système métrique. C'est Henri Moreau, un spécialiste de la "métrologie", qui l'a écrit. J'ai lu il y a quelques mois Le mètre du monde, de Denis Guedj, et cet ouvrage va me permettre de réactiver différemment.

Pour la route, un Meirieu. Chose étrange, je n'en possédais aucun. J'en ai lu pas mal, dont trois la semaine derrière, mais bon, voilà, c'est mon Meirieu à moi, maintenant. Il est un peu daté et je n'aime pas la façon dont sont organisés et intitulés les chapitres, mais après réflexion, je l'ai embarqué tout de même.

 Et puis ma petite perle du jour : Les puissances de dix. Lorsque j'étudie ce sujet pas hyper palpitant avec mes élèves, je leur passe la vidéo d'IBM. Elle a un petit air de Quatrième dimension, avec ses grésillements sur la bande sonore et la voix du commentateur. Et puis ça montre à nos jeunes ce qu'on a vécu (la vidéo date de 1977)... Et bien là, le bouquin s'appuie justement sur le film. Dingue, non ? Il y a les photos, et des commentaires. Non, vous ne trouvez pas ça dingue ? Ben moi oui, voilà.

Le grrrrrrrrand mystèèèèère des mathématikkkkkk

J'ai visionné le documentaire diffusé il y a peu sur Arte, dont j'avais parlé ici.

Je suppose que pour qui a envie de se tenir informé de l'actualité scientifique, c'est un documentaire intéressant. Mais la problématique du documentaire est "La réalité possède-t-elle une nature mathématique inhérente ou est-elle un produit de notre cerveau ?". C'est une question philosophico-scientifique fort intéressante, et bien sûr le documentaire ne lui apporte pas de réponse : peut-être que oui, ou bien peut-être que non, encore que peut-être les deux en même temps.

C'est normal, de ne pas y apporter de réponse. Si une réponse était facile à donner, cela aurait déjà été fait. Toutefois, si la première partie du documentaire contribue à y réfléchir la deuxième me semble davantage "parler de sciences avec des maths dedans". Ce qui n'est pas inintéressant, mais pas le propos.
Et puis, c'est obligé, le monsieur-voix-off qui parle de cette façon caricaturale ? J'aime bien les documentaires en général, mis le "ton documentaire" actuel commence à me lasser.

Alors que trouverez-vous dans Le grand mystère des mathématiques ?

• Vous verrez que la suite de Fibonacci ne concerne pas que les petits lapins, mais aussi les jolies fleurs (et les moches aussi) ;
  ;
• Vous découvrirez comme π est balèze ;
• Vous entendrez parler jeux vidéos, Matrix, communication, gravitation, boson de Higgs et météo ;
• Vous entendrez une fort jolie musicienne parler de maths et de musique ;
• Vous verrez un nombre considérable d'objets hétéroclites s'écraser au sol ;
• On vous parlera de tout un tas de scientifiques : Galilée, Aristote, Newton, Maxwell et quelques autres ;
• Vous apprendrez que les étudiants comparent aussi bien les quantités que les lémuriens ;

• Vous serez agacés d'apprendre qu'un exemple fait démonstration ;
• Vous saurez dorénavant que Galilée a écrit que "L'univers est écrit en langage mathématique" ;
• Et bien d'autres choses encore, comme dirait le monsieur des Contes mathématiques.

A la fin du documentaire, un homme explique qu'en sciences appliquées, on ne s'embête pas à faire des approximations, pour simplifier les études. C'est un point d'achoppement entre matheux et physiciens, ça.Un de ces trucs qui fait qu'on se bouffe le nez pendant des heures (ce qui n'a pas grand sens : il est bien souvent fort difficile de démêler maths et physique dans bien des recherches actuelles). Ce monsieur conclut :

"Un ingénieur n'est pas payé pour faire les choses parfaitement, mais pour les faire juste assez pour que ça marche."

J'ai trouvé cette phrase intéressante : c'est vrai qu'elle va dans le sens de "un peu les deux" comme réponse à la question initiale. La réalité invoque des maths à tous les coins de rue, mais peut-être leur formalisation idéale, "pure", est-elle une représentation purement intellectuelle ?

Spéciale dédicace à Bruce Benamran : 

Aristote en pleine expérience de gravitation

Arts et maths

J'ai, par l'entremise d'inclassables mathématiques , découvert récemment le site Peinture & mathématique. Voilà de la matière pour l'histoire des art, ou un EPI à venir. Sylvie Donmoyer utilise "une grande variété de techniques picturales depuis l'aérographe et la peinture à l'huile jusqu'à l'imagerie digitale en 2 et 3 dimensions". Elle cherche à "allier la précision de l'illustratrice scientifique et l'imagination de l'artiste". Chouette, non ?

Quelques exemples :