Des creux et des pleins

Dans la dernière évaluation sur feuille en sixième, sur la géométrie dans l'espace (j'en ai parlé ici, déjà), un autre exercice a attiré mon attention. Il s'agit de celui-ci :

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C'est un exercice assez difficile, car il faut se faire une représentation mentale d'un solide vu sous deux angles, et faire concorder les deux. Cette version s'adressait aux élèves plutôt à l'aise avec la perspective. Les autres élèves avaient à traiter cet exercice-là :

Je précise que la version ci-dessus correspond aux attendus des programmes. Ce n'est pas une version au rabais.

Au travers de ces deux exercices, j'évaluais deux compétences : "calculer un volume par dénombrement", et "interpréter une consigne". Il n'était pas question explicitement de volumes, mais c'est en fait ce qu'il y a derrière. J'ai hésité avec "comprendre la perpective cavalière", mais elle me semblait moins bien adaptée.

La version de l'exercice en couleur a été réussie par 12 élèves sur 14. Les deux autres ont répondu "8" et "23".

Pour l'autre version, c'est plus varié : j'ai obtenu "13", "16", "17", "18" (six fois), "20" (deux fois), "21" et "23", plus deux élèves qui ont donné deux réponses, une pour chaque représentation du solide.

• Pour la version plus difficile, "Calculer un volume par dénombrement" est dotée d'un point vert pour la réponse unique "17", d'un point rouge pour une réponse unique de 16, 20, 21, et pour une des deux réponses multiples (où l'élève a dénombré les cubes visibles de chaque figure séparément), et de deux points rouges pour la réponse "23" et la réponse proposant deux nombres qui doivent être un dénombrement de faces, je pense.
• "Interpréter une consigne" est dotée d'un point rouge pour les élèves qui ont fourni des réponses multiples dans la version plus complexe, et pour l'élève qui a donné le nombre de cubes constituant le solide et non le nombre de cubes manquants.

Ce qui est intéressant, ce sont les démarches des élèves. Globalement, elles sont de deux natures : ceux, qui comptent tout et numérotent, et les autres qui partent d'un représentation et complètent. Ce sont deux démarches mentales très différentes : pour les uns, il s'agit de faire une correspondance complète entre les deux solides, simultanément, alors que pour les autres, on part d'une des représentations, et ensuite, en comparant, on complète.

Voici ce que cela donne :

(la même, avec des éléments de correction)

ou bien :

Version sans aucune annotation sur les représentations. L'élève
manipule l'abstrait.

Tout à fait la même démarche, mais avec un appui visuel, et des codages différenciés

 Je pensais difficile pour les élèves de justifier ; de ce fait, la consigne ne demandait pas de le faire. pourtant, une bonne moité des élèves a justifié, d'une façon ou d'une autre. C'est bien : ils intègrent mes exigences et donnent de l'importance à la démarche. Et moi, je peux comprendre leur façon d'envisager les choses, leurs erreurs, leurs profils mentaux.

Décentration cognitive

Depuis samedi midi, c'est l'épanouissement psychologique et cognitif : nous sommes tous en mise à distance du milieu éducatif, que ce soit nos quatre apprenants ou nous deux, les experts de la transmission.
Et ça fait du bien, croyez-moi : notre cerveau peut enfin évacuer la surcharge intellectuelle. Quant à nos novices, ils s'auto-gèrent relativement bien et construisent leur remédiation à la sur-consommation de savoirs et de procédures. Le contrat contradictoire est efficient : bien que non assujettis à nos intentions, conscients de leur libre-arbitre, affranchis de tout conditionnement, ils manifestent la prise de conscience, le souci de voir l'altérité coexister en tant que différent de soi. Et ils font preuve d'anticipation, d'auto-régulation et de réflexivité, c'est beau à voir. Ils jouent à fond le groupe comme élément de médiation. Du collaboratif contextualisé, inclusif à souhait.

Du coup, j'en profite pour transférer le concept de métacognition de ma mémoire de travail à ma mémoire à long terme. Et pour travailler ce puissant outil qu'est le langage, tant dans ses composantes lexicales que dans son rôle de structuration de discours. Ca fait un peu mal au cerveau, qui, s'il a beau être extraordinairement plastique, ne s'entraine pas comme un muscle.

Et comme l'imitation est une modalité d'apprentissage, j'écris cet article, dans l'espoir d'accéder à une pensée qui se pense en même temps qu'elle pense le monde.

Ahaaaa, ça pète, ça, non ?

Traduction :

Depuis samedi midi, c'est trop chouette : c'est les vacances pour nous six !

Il était temps : on était crevés. Les loulous sont cools et se reposent, car eux aussi ont bien bossé et sont fatigués. Sans être lèche-bottes, et même sans qu'on leur demande, ils rendent des services et tout, même s'ils ne voient pas du tout pourquoi nous tenons tant à ce que le ménage soit fait toutes les semaines. Et même, ils pensent à vider le lave-vaisselle avant de remettre des trucs sales dedans, et à mettre la pastille qui lave ! En plus ils s'entendent vraiment bien, même si nous ne comprenons pas grand chose à leurs conversations ; et puis ils ont invité des potes, en plus.

Du coup, j'en profite pour bosser une intervention que je dois faire en mars sur les gestes mentaux. J'ai commencé par trois bouquins sur la métacognition, et j'essaie de retenir un maximum de choses, de vocabulaire, et de réfléchir un peu à un plan. Je ne comprends pas tout, mais c'est passionnant (en vrai).

Le problème, c'est que je pense un peu comme c'est écrit dans les bouquins.


C'est grave, vous croyez ?

Un gros 75%, disons. Très gros.

Sur le site des Dudu, une perle qui tombe à pic après mon flop avec les taux en sixièmes... Je vais en faire une activité pour la rentrée, de ce pas. D'ailleurs, en troisième, nous avons travaillé sur agrandissements et réductions avant les vacances... Je vais donc réinvestir en troisième aussi.

 Flore, Owen, et mes autres lecteurs de sixième : vous pouvez réfléchir à cette représentation, dès maintenant.

Ibni Oumar Mahamat Saleh

Sur Images des mathématiques, site du CNRS, un article à lire, écrit par Charles Boubel :

IBNI OUMAR MAHAMAT SALEH « DISPARU » : DEPUIS HUIT ANS, RIEN D’AUTRE QU’UN NON-LIEU.

Le 3 février 2008, Ibni Oumar Mahamat Saleh, professeur de mathématiques à l’université de N’Djamena et opposant politique dans son pays, était enlevé par des soldats tchadiens à son domicile de N’Djamena.Depuis, pour le Tchad, il est toujours « disparu » alors qu’une enquête internationale a conclu à sa mort rapide dans une prison présidentielle. Sa famille et de nombreuses personnes et organisations réclament la vérité et la justice mais Le Tchad comme la France bloquent par tout moyen.

Ibni avait créé plusieurs liens avec des universités ou écoles françaises. Aussi la Société Française de Statistique (SFdS), la Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles (SMAI) et la Société Mathématique de France (SMF) ont créé en 2009 un prix Ibni Oumar Mahamat Saleh, « attribué à un(e) jeune mathématicien(ne) d’Afrique Centrale ou de l’Ouest [pour] financer un séjour scientifique de quelques mois » dans un lieu de son choix. Ce prix est aussi soutenu par le CIMPA (Centre International de Mathématiques Pures et Appliquées) et l’IMU CDC (Comité pour les pays en développement de l’Union Mathématique Internationale) ; c’est Valaire Yatat Djeumen, doctorant camerounais, qui l’a reçu cette année.

Etude de cas, ou comment j'ai loupé un truc

J'ai proposé à mes sixièmes une évaluation sur la géométrie dans l'espace. Elle est plutôt bien réussie globalement, y compris sur des compétences assez difficiles à acquérir si rapidement, mais je me suis loupée sur un pont, et pas des moindres : la perspective cavalière.

J'avais deux objectifs principaux : faire passer qu'il faut représenter les arêtes cachées, et que le parallélisme est conservé par cette perspective.

Pour les arêtes cachées, c'est bon, la grande majorité des élèves a compris.

Par contre, sur le parallélisme, c'est complètement raté. Mais alors, complètement. Si j'ai cinq réponses exactes, c'est bien tout. Je ne comprends pas : habituellement ça passe plutôt bien, et nous avons réalisé des représentations en classe. je les ai regardés travailler, et tout et tout. C'est vrai, j'ai dû beaucoup aider ou corriger, mais je ne pensais pas que représenter un solide en perspective était à cet état d'acquisition... Sinon, j'aurais retravaillé la compétence ou attendu avant de l'évaluer.

Bon, en attendant, voici où nous en sommes :

D'abord, la consigne, en deux versions. Il fallait compléter le dessin de façon à obtenir la représentation d'un pavé droit en perspective cavalière :

Première erreur, peut-être : j'ai attribué la premier dessin à la version "de base" de mon évaluation, et le deuxième à la version "musclée". Au final, plus d'élèves ont réussi la deuxième. C'est logique en un sens, puisqu'elle s'adressait à des élèves plus à l'aise en géométrie dans l'espace, mais peut-être ai-je plaqué mon interprétation visuo-spatiale à tort.

Deuxième erreur, évidente : sur la feuille de consigne, j'avais oublié de préciser que je voulais un pavé droit. J'ai donc dit aux élèves, plusieurs fois, que c'était le cas. Mais sans doute cela a-t-il perturbé plusieurs enfants.

Examinons donc à présent les productions. Elles y sont toutes, sachant que deux élèves n'ont pas du tout traité l'exercice (sans m'appeler pour me poser de questions ou solliciter mon aide) :

20 productions sur les 27 qui proposent un essai de résolution font apparaître des arêtes cachées. C'est mieux que d'habitude.

En revanche, pour le respect du parallélisme, on n'y est pas. Et pas non plus sur la représentation générale du pavé droit. 

D'autres exercices de la même évaluation proposaient de réfléchir à ces représentations :

Dans cette question, voici ce que j'obtiens :

4 élèves ont fait une seule erreur, sur le nombre de faces d'un des deux solides ;

5 élèves ont fait une seule erreur, sur le nombre d'arêtes d'un des solides ;

1 élève a fait une seule erreur, sur le nombre de sommets d'un des solides ;

2 élèves ont fait deux erreurs, sur des éléments et des solides différents ;

1 élève s'est trompé sur le nombre de faces et de sommets des deux solides (mais pas le nombre d'arêtes) ;

1 élève s'est trompé sur le nombre de faces des deux solides, mais a le reste juste ;

1 élève s'est trompé partout ;

14 élèves ont répondu correctement.

La question me semble assez bien réussie : lorsqu'un élève fait une seule erreur ou deux erreurs sur des éléments différents, je crois qu'il est probable qu'il ait commis une maladresse qui relève de la précipitation ou du manque de méthode pour dénombrer, plutôt que d'une réelle incompréhension ou d'un problème de langage. Les pessimistes me diront que peut-être au contraire ils ont eu un coup de chance sur les réponses justes, mais je ne pense pas. On a plus de chances de se tromper que de bien répondre, au pif.

L'élève qui s'est trompé partout a en fait échangé tous les mots. Il a les bons "nombres", mais affectés dans un désordre cohérent.

Au final il reste peu d'élèves qui n'ont pas compris.

Un autre exercice proposait ceci :

 Ici, c'est une réussite, à deux bémols près. Quand on observe les réponses, elles sont presque toutes exactes. Excepté sur les notations (les crochets pour désigner les arêtes, qui sont des segments), c'est vraiment bien. Toutefois, l'arête cachée a été oubliée par 15 élèves aux réponses aux points 2 et/ou 3, alors que les deux autres étaient citées. Ainsi donc sur cette propriété de la perspective cavalière, il va aussi falloir retravailler.

 Ce qu'on peut aussi noter, c'est que les élèves avaient au recto de la feuille une représentation en perspective d'un pavé droit. On aurait pu penser qu'elle les aiderait à compléter celle du verso. Je suppose qu'une partie d'entre eux a oublié l'existence de cette représentation en tournant la feuille, mais même les élèves en difficulté sur leur représentation à compléter, que j'ai tenté d'aider en leur suggérant de s'appuyer sur celle de l'exercice 2, n'ont pas mieux réussi.

Il y avait enfin cet exercice, que le même chamade compétences :

 

Ici, au moins, c'est cohérent pour la première question : les élèves ont assez souvent sélectionné les dessins a, c, e et f. On retrouve l'attention portée aux arêtes cachées et le passage à la trappe de la conservation du parallélisme. 9 élèves n'ont répondu que "a et f", soit un tiers de la classe.

Les réponses à la dernière question sont plus étonnantes : 

25 élèves ont donné comme conseil de dessiner les arêtes cachées en pointillés, et de les dessiner toutes ;

12 élèves ont fait référence à la nécessité de respecter la conservation du parallélisme (avec peurs mots, parfois : "faut pas déformer la figure", "il faut que les arêtes aient inclinées pareil", etc.). 

D'une part, c'est plus que ne nombres de réponses exactes à la question précédentes. Mais surtout, plusieurs élèves qui ont bien justifié n'ont pas répondu correctement à cette question précédente (et plusieurs ont bien répondu "a et f", mais sans justifier : ce sont des élèves qui se savent performants en maths et qui trouvent pénible de justifier. Nous ne sommes pas du tout d'accord, eux et moi, sur ce qu'est une "bonne" production... Et ils me résistent, même si je gagne du terrain).

Cela signifie-t-il qu'ils ont appris la leçon sans comprendre ? En même temps, je ne demandais pas une restitution directe, mais des conseils à partir des représentations proposées... Je suis assez perplexe, du coup.

Si vous avez des interprétations et des idées, je prends.

Cinémathématique

J'ai trouvé un appel à contribution pour "Géométrie des formes filmiques. Mathématiques et matières du cinéma", par l'Université Paris-Est Marne-la-Vallée, sur Fabula. C'est assez extraordinaire, et je vous en livre des extraits (en fait il y a presque tout. C'est difficile de couper une phrase : le dernier paragraphe n'en forme qu'en seule) :

Les mathématiques peuvent imprégner les procédures de création et d’administrations filmiques – prise de vue réelle ou animation – à plus d’un titre, depuis le script (contexte narratif : l’intrigue met en scène des mathématiciens, par exemple) jusqu’à la plus récente algorithmicité des images numériques générées par ordinateur. (...) Le spectre est donc très large, et d’intérêt variable, depuis les mathématiques comme prétexte scénaristique jusqu’à leur actionmodélisante (que d’autres arts connaissent bien depuis plus longtemps : la composition musicale).

La présente journée d’études, pour sa part, veut examiner plus spécifiquement une autre question : celle, représentative, appliquée aux formes filmiques à partir des objets et des motifs mathématiques : figures (cercles, spirales, rectangles, mais aussi échiquiers…), courbures, plis, fibrés, topologies. La géométrie dont il est question est, on comprend aisément pourquoi, la géométrie euclidienne, celle de notre espace environnant (analogique), mais aussi, et non seulement grâce aux derniers développements technologiques, peut relever de géométries contre-intuitives encore représentationnelles (il faut pouvoir les faire voir avec les moyens d’appareils euclidiens et à un œil d’éducation euclidienne), c’est-à-dire évoluant dans un monde borné par les trois dimensions classiques – les géométries non euclidiennes différentielles, entre-dimensionnelles, où les formes difféomorphiques évoluent entre deux variétés euclidiennes par recollement ou trame métrique : surface de Riemann, objets fractals de Mandelbrot, tore de Klein, triangle de Penrose, ruban de Möbius, surface de Boy ; déjà la cartographie. Les figures non euclidiennes, détachant le mode de production du film de la stricte obédience référentielle et photographique (reproductionnelle), et le rapprochant ceteris paribusde la représentation picturale, non analogique, in abstentia, permettraient ainsi au cinéma d’intégrer dans ses régimes de figuration des géométries dont la littérature (Lovecraft, Calvino, Borges, Ballard) ou les arts visuels (Duchamp, Metzinger, LeWitt) se sont également emparés.

Si l’on s’en tient à une simple logique d’auteur, on doit d’abord faire deux constats pessimistes quant à la présence des formes géométriques dans l’image : 1/ celui de l’affaiblissement – c’est sous des formes extrêmement vulgarisées que les figures géométriques les plus complexes et les théories qui les pensent sont instrumentalisées dans les arts visuels (les peintres ou les cinéastes ne sont pas des mathématiciens de formation, et ils doivent négocier avec des contraintes matérielles qu’ignorent les géomètres) ; 2/ celui de l’aliénation – si l’on suit une intention délibérée d’avoir recours à telle ou telle figure géométrique dans un film, c’est souvent uniquement pour illustrer une autre modulation théorique (rêves, science-fiction, etc.) (...)

Le but de cette journée d’études est autre : non seulement n’interroger que les formes filmiques géométriques, à l’intérieur de l’ensemble des champs d’intervention des mathématiques au cinéma – présupposé d’objet – mais également ne tenter de les interroger que de l’intérieur des formes elles-mêmes – présupposé de méthode –, de ne s’attacher qu’au développement de ces formes dans leur milieu fabulé (interactions, effets) et dans les instructions figuratives, de questionner les modalités à la fois formelles et matériologiques (la matière, par exemple, courbe l’espace) par lesquelles les formes géométriques ne sont pas seulement filmées mais aussi filmantes et font retour sur les images dans lesquelles elles s’inscrivent par des vectorisations d’invention figurative et des formules de métamorphoses, projectives ou non, des textures spatiales et des tissus spatialisés.

J'aimerais beaucoup lire les contributions, ou mieux, les entendre. En même temps, je ne suis pas sûre de pouvoir tenir très longtemps si c'est ce champ lexical qui est utilisé en permanence...

Evaluation en temps limité ?

Nous débattions récemment avec mes étudiants enseignants stagiaires des évaluations en temps limité. Un problème récurrent lorsqu'on débute (et parfois aussi bien après avoir débuté) est de parvenir à estimer le temps nécessaire "raisonnablement" pour une évaluation, à calibrer la consigne de sorte que les élèves aient le temps, mais n'aient pas fini trop en avance, ce qui pose souvent des problèmes de gestion de classe.

C'est une question relativement insoluble, car nos élèves ont des rythmes très différents. Taper "dans la moyenne" peut conduire à ne satisfaire personne, comme souvent lorsqu'on se fie à cette fichue moyenne. Nous entraînons les élèves à ne pas manquer de temps pour l'épreuve du brevet (ce qui est plutôt facile ; en général ils partent en avance, en ayant fait tout ce dont ils s'estiment capables), et pour l'épreuve du bac (c'est plus variable mais là aussi les candidats ont le temps de faire tout ce qu'ils "peuvent").

A mon sens, poser des impératifs de temps limité de façon stricte, systématique et autoritaire dans des niveaux tels que 6ème, 5ème, 2nde, n'est ni nécessaire ni bénéfique aux élèves. En 4ème et en 1ière, on peut proposer plus régulièrement des épreuves dans lesquelles "gérer le temps" est un objectif, et encore davantage dans les classes à examen. Mais il est clair que cette contrainte de temps limité en panique certains, qui ne sont plus aptes à réfléchir là où ils auraient pu produire, prendre confiance et faire mieux, plus sereinement, la fois suivante.

En même temps, il ne s'agit pas non plus de laisser un élève une semaine sur son évaluation... Il faut tout de même des limites. Toutefois, je pense que ces limites sont assez souples. Pouvoir dire à des élèves de 6ème que "si ils n'ont pas fini, ils termineront la fois prochaine" ôte visiblement une pression. Ils réussissent mieux, mais surtout ils tendent à réussir de leur mieux.

C'est pourquoi je propose en 6ème, 5ème et 4ème des évaluations à niveaux. Souvent, le premier niveau est constitué d'une fiche qui correspond au socle commun de connaissances. Le deuxième niveau demande plus de lecture, d'analyse de consignes, de recherche et de rédaction. Et le troisième niveau est un niveau facultatif, qui va permettre à ceux qui le peuvent d'aller plus loin encore, mais qui ne sera pas évalué négativement pour les élèves qui n'auront pas le temps de l'aborder.

Si l'évaluation s'étend sur plusieurs séances, je m'oblige à corriger leur production : je sais ce qui est issu du "premier jet", ce qui est important en terme d'évaluation, et je peux attirer leur attention sur ce qu'ils peuvent corriger pour faire mieux encore. Seule consigne : les corrections apportées doivent être dans une couleur différente (et qui pète) pour faciliter ma deuxième correction. Les élèves ont donc la possibilité de reprendre leur copie et de l'améliorer, exercice d'ailleurs très peu naturel et difficile en début d'année.

Bien sûr, le fait que j'évalue sans notes mais avec des compétences rend ce système possible plus aisément que si j'attribuais des notes chiffrées. Je peux construire un bilan de compétences par niveau. Ainsi, dans le bilan du troisième niveau, un élève qui n’a pas réussi ou pas traité la question se voit attribué « non évalué », et non « rouge-rouge ».

La plupart du temps, les élèves sont occupés à tâches mathématiques sur toute la durée de l’évaluation.

Et lorsque Rapido et Speedy ont fini avant tout de même ? C’est là que ma bibliothèque de travail entre en jeu :

Trois élèves terminent leur évaluation, un autre est allé chercher une BD sur les maths.

Comme nous avons étudié l'oeuvre d'Escher, un élève rapide
se lance dans de la déformation de dessin, activité prise dans
les fiches à disposition dans la bibliothèque.

Un super rapide cherche à construire sa propre illusion d'optique

Trois élèves qui ont fini choisissent leurs activités post-évaluation, librement
ou sur mes recommandations

Une élève construit un patron de cube, puis un patron de pavé droit,
puisque c'est ce qu'elle doit faire pour vendredi. Ainsi, je peux l'aider et
vérifier son travail.

Cela demande du matériel et de l'organisation. Mais c'est intellectuellement satisfaisant, car les élèves sont en activité mathématique, tous, et ceux qui ont besoin de prendre de l'assurance face à l'évaluation le peuvent.