Tracer, construire, et puis représenter, tant qu'on y est

Hier, en discutant avec un de mes inspecteurs, j'ai pris conscience de la différence de sens entre les deux verbes "tracer" et "construire", que je n'avais jamais perçue. C'est d'autant plus curieux que ce matin au petit déjeuner, en en parlant avec mon mari et les enfants, tous l'avaient bien perçue. Comme l'a résumé mon grand, tracer c'est wopwopwopbloupbloup, et que construire c'est hoooop et hoooop et attention lààà chtac. Même chose pour les élèves à qui j'ai demandé quelle perception ils avaient de ces deux termes, sans les onomatopées.

Alors pourquoi pas moi ?

J'ai d'abord regardé sur internet, chez les collègues. J'ai trouvé :

Construire une figure géométrique , c'est réaliser des tracers en s'appuyant sur ses propriétés ; 
Si j'interprète, construire c'est tracer en raisonnant. Mais est-ce en raisonnant explicitement ? tracer, est-ce construire de façon intuitive ? Pas de mention d'utilisation d'instruments, ici, en tout cas.

Construire, c'est réaliser un objet qui n’est pas présent et dont on dispose seulement d’une représentation ou d’une description ; et représenter exige d'utiliser des procédés conventionnels qui peuvent amener à négliger des propriétés.

Je comprends l'idée de construire, qui rejoins la précédente, encore que disposer "seulement" d'une description ou d'une représentation me paraît une idée étrange. Je ne comprends pas l'idée de ce représenter-là, ensuite. Ou alors on parle d'automatismes : lorsqu'on fait glisser l'équerre le long de la règle pour représenter-tracer-construire une parallèle à une droite, peut-être fait-on appel à un "procédé conventionnel" qui néglige des propriétés au sens où l'élève ne les envisage pas forcément de façon explicite ?

Tracer : on peut penser que sous le verbe « tracer », il y a le verbe « construire ». Il s’agit alors de connaître les propriétés de certaines figures et la manière dont elles se traduisent à travers le recours à tel ou tel support et tel ou tel instrument.
L'idée que construire est lié aux propriétés géométrique se confirme.

J'ai aussi demandé à mon ami dico. Je me doutais que cela ne satisferait pas, car le dictionnaire se place dans de grands champs lexicaux, et mon attente est sur le secteur de la géométrie.

Représenter

Tracer

Construire

En fait, ces définitions m'ont aidée à continuer de construire ma représentation (ahahaha) mentale : représenter, vise à communiquer, à faire comprendre. Tracer fait référence au sensible, à des "traits". Et construire se rapproche davantage de la tâche complexe. Mais cependant l'exemple du dico, pour tracer, appelle le compas, qui n'a rien d'une construction à main levée ou sans propriétés géométriques...

Bon, je n'avais pas tellement avancé.

Je suis allée voir les programmes. tracer apparaît très peu :

On trace bien des cercles. Parce qu'ils sont des objets élémentaires, en une ligne ?

Ici, on trace en appelant des propriétés.

Ah oui tiens, il y a aussi reproduire.

En revanche, construire et représenter apparaissent beaucoup plus souvent :

Là, construire est bien adapté : il y a assemblage

Reproduire, représenter et construire sont affirmées comme des tâches différentes. Comme là :

En fait, le coeur de mon problème n'est pas sur "tracer" et "construire", mais sur "construire" et représenter", je crois. "Tracer" me semble finalement presque accessoire. Et je comprends mieux la distinction entre "représenter" et "construire" : "représenter" relève de la communication, de la mise en valeurs d'informations, y compris en ayant recours à des dessins à main levée avec codages. Construire est un acte plus complexe, plus normé, qui en effet s'appuie sur l'utilisation de propriétés.

Pour finir et essayer de trouver mes repères, j'ai lu les derniers sujets de DNB et de bac S.

Dans les sujets de DNB de 2016, voici ce que j'ai trouvé :

• Pour représenter :

• Pour tracer :

• On trouve aussi le mot "dessin" : 

• Et pour construire :

On dirait bien que représenter figure une situation concrète, comme dans le dico, que construire relève en effe de l'assemblage, et que tracer et dessiner caractérise l'action scolaire de l'élève.

Et au bac S ?

• Pour représenter (40 occurrences, mais souvent dans d'autres champs que la géométrie : les candidats doivent expliquer ce que représente une valeur, et cela se rapproche de l'interprétation dans ce cas) :

Représenter est très souvent associé au concept de fonction

• Pour tracer :

Seule (double) apparition de "tracer" au bac, mais explicitement sans justification.

•  Pour dessin, ou dessiner : aucune occurence

• Pour construire :

Cette fois, à  ce niveau, il est clair que construire relève d'un acte mental raisonné et justifié, par opposition à tracer, qui ne nécessite aucune justification, même si elle exige quand même une démarche mentale, qui cependant peut être intuitive. Je retrouve là ce que m'expliquait mon inspecteur hier. Ainsi, l'emploi de ces mots varie d'un niveau de classe à l'autre. Entre l'élémentaire, le collège et le lycée, un glissement s'effectue, abandonnant l'usage de mots au profit d'autres. Et j'ai eu du mal, mais je me suis construit une compréhension, je crois. Finalement, tracer, construire, représenter, aucun n'est accessoire. Et même si ce n'est pas forcément très important pour les élèves, ça l'est plus pour les enseignants. Puisque nous disposons de mots variés, autant les utiliser à bon escient et de façon précise...

De belles cartes pour le club maths

Il me fallait des cartes pour certifier que mes matheux en herbe participent bien au club maths, et ne se contentent pas de gruger à la cantine pour aller jouer ensuite au ping-pong (rhalala, c'est pas bien beau quand même !). Alors j'ai demandé à mon mari s'il pouvait me réaliser ça (il est fort, mon mari), et il l'a fait (il est gentil, aussi, mon mari) :

Non mais c'est pas tip-top, ça ???

Ben si.

Pour tous mes élèves et étudiants ! (et pour les autres, aussi)

C'est parti pour répéter en boucle "Bonne année !". Mais n'avez-vous pas envie de varier un peu ? Voici quelques propositions qui laisseront la plupart de vos interlocuteurs perplexes :

Je vous souhaite une bonne année 2017 : c'est un nombre premier, gage de qualité ! C'est le 306ème, pour être précise.

La somme des diviseurs de 2017, ça donne 2018 !!! Une année déjà tournée vers la suivante, elle va être passionnante ! Ca, c'est le plus idiot que j'aie trouvé : 2017 étant premier, forcément la somme de ses diviseurs vaut lui-même plus 1...

Bonne année 9²+44² ; une année qui s'écrit comme somme de deux carrés, ça promet ! Voilà voilà.

Belle année 7³+7³+11³ ! Vous vous rendez compte, c'est dingue, une somme de trois cubes ! Rhalala, elle va être exceptionnelle, cette année ! Ici, vous pourrez lire tout un tas de trucs intéressant sur les nombres qui s'écrivent comme somme de trois cubes.

Des années qui furent à la fois un nombre premier et une somme de trois cubes, il n’y en eut que 45 depuis l’an I. Alors bonne exceptionnelle année, cher ami. Ah oui, ça tape bien, ça. Pas mal.

Mais en fait je préfère ça :

Joyeuse année 

à tous !

Coups de pouce, coup dans l'eau !

En cinquième, nous avons découvert le principe de distributivité. Ma collègue de la salle d'à côté m'a donné une feuille d'exercices très bien faits, simple et efficace, qui permet de faire calculer la même chose de deux façons différentes. La séance a bien fonctionné, et nous avons ensuite repris sur des exemples décontextualisés, puis réactivé régulièrement.

Et puis voilà l'évaluation qui arrive. Au programme, priorités de calcul, proportionnalité, construction de figures, angles, somme des angles d'un triangle, angles et parallélisme, et puis la distributivité. Il y avait un exercice de distributivité :

Mon objectif était de tester la technique... Je me doutais que certains élèves ne sauraient pas interpréter les mots "développer" et "factoriser" (même si bien sûr, nous avons largement travaillé dessus, mais c'est nouveau). Et en effet, cela a été le cas. Plusieurs élèves m'ont demandé ce qu'il fallait faire. Et là, j'ai répondu des trucs idiots., ou en tout cas vraiment pas pertinents.

Je ne voulais pas les abandonner sans secours, et je ne voulais pas non plus tout leur dire... Alors je leur ai demandé de reformuler, de faire une proposition. J'ai eu "C'est le truc avec les flèches ?", et j'ai dit "Oui, c'est ça, mais attention, es deux expressions souvent bien être égales, n'oubliez pas !" Et du coup, voilà, je les ai, mes flèches :

Un autre élève a proposé " Ah oui, c'est là qu'on doit rajouter des parenthèses ?" et j'ai répondu "Oui, mais attention, par n'importe comment, pas n'importe où". Hé bin tu en veux, des parenthèses, madame le professeur ? En voilà :

un peu de parenthèses

beaucoup de parenthèses 

heuuu mais elle les veut où, ses parenthèses ???

Et puis il y a l'élève qui me demande "factoriser, c'est écrire en plus court, non ?" auquel je réponds "On peut le voir comme ça, oui." Alors hop :

 

 Ou encore "il faut écrire ce que ça fait, mais pas écrit pareil ?" Alors voilà :

Bon, vous l'aurez compris, je suis insatisfaite. Et encore, il y a ceux qui ont essayé, mais en écrivant des bêtises :

Là, il faut retravailler le sens des opérations

Ici aussi.

Heu dis donc et les priorités de calcul alors ?

Visuellement pas si loin, mais en fait le sens n'y est pas non plus

L'erreur à laquelle je m'attendais, et qui est apparue seulement deux fois !

Assez peu élèves n'ont rien répondu : il sont trois à avoir laissé tomber.  Ca, c'est bien : au moins, ils se lancent, sans craindre de se tromper. Et 16 élèves sur 28 ont compris ce que je demandais. Parmi eux, seulement 11 n'ont pas fait d'erreur. 

Au final, cela donne donc 11 compréhensions qui semblent solides et claires, sur 28 cerveaux. Je dois pouvoir mieux faire... 

Bon ben allez, on s'y remet ! On va lui régler son compte, à cette distributivité !

Les problèmes de Denise (1)

Denise, c'était la grand-mère de mon mari. Elle n'est plus en vie, mais nous avons, à la maison, un de ses cahiers, et c'est un cahier de maths.
Tout ce qui est écrit en introduction, c'est ça :

J'ignore donc à quelle classe correspond ce cahier, et mon mari ne sait plus en quelle année est née Denise. Mais au vu  de l'écriture et des notions mathématiques engagées, je dirais qu'elle devait être en début de ce qui est le lycée maintenant pour nous.

Le cahier n'est pas rempli entièrement, mais il propose quelques beau problèmes. En voici un, que je vais exploiter avec mes étudiants :

Je vous laisse vous débrouiller un peu... Et j'y reviendrai !

On prépare la rentrée !

Hé oui, demain, hop, on y retourne. Alors comment cela se passe-t-il dans une maison de profs, la veille de la rentrée ?

Mon mari trie ses bons points à l'effigie des rois de France

Je suis allée acheter mon matériel pédagogique

Et mes supports d'activité sont prêts.
Vous remarquerez aussi que presque tout est barré sur ma liste de trucs à faire...

On est prêts.