Le grrrrrrrrand mystèèèèère des mathématikkkkkk

J'ai visionné le documentaire diffusé il y a peu sur Arte, dont j'avais parlé ici.

Je suppose que pour qui a envie de se tenir informé de l'actualité scientifique, c'est un documentaire intéressant. Mais la problématique du documentaire est "La réalité possède-t-elle une nature mathématique inhérente ou est-elle un produit de notre cerveau ?". C'est une question philosophico-scientifique fort intéressante, et bien sûr le documentaire ne lui apporte pas de réponse : peut-être que oui, ou bien peut-être que non, encore que peut-être les deux en même temps.

C'est normal, de ne pas y apporter de réponse. Si une réponse était facile à donner, cela aurait déjà été fait. Toutefois, si la première partie du documentaire contribue à y réfléchir la deuxième me semble davantage "parler de sciences avec des maths dedans". Ce qui n'est pas inintéressant, mais pas le propos.
Et puis, c'est obligé, le monsieur-voix-off qui parle de cette façon caricaturale ? J'aime bien les documentaires en général, mis le "ton documentaire" actuel commence à me lasser.

Alors que trouverez-vous dans Le grand mystère des mathématiques ?

• Vous verrez que la suite de Fibonacci ne concerne pas que les petits lapins, mais aussi les jolies fleurs (et les moches aussi) ;
  ;
• Vous découvrirez comme π est balèze ;
• Vous entendrez parler jeux vidéos, Matrix, communication, gravitation, boson de Higgs et météo ;
• Vous entendrez une fort jolie musicienne parler de maths et de musique ;
• Vous verrez un nombre considérable d'objets hétéroclites s'écraser au sol ;
• On vous parlera de tout un tas de scientifiques : Galilée, Aristote, Newton, Maxwell et quelques autres ;
• Vous apprendrez que les étudiants comparent aussi bien les quantités que les lémuriens ;

• Vous serez agacés d'apprendre qu'un exemple fait démonstration ;
• Vous saurez dorénavant que Galilée a écrit que "L'univers est écrit en langage mathématique" ;
• Et bien d'autres choses encore, comme dirait le monsieur des Contes mathématiques.

A la fin du documentaire, un homme explique qu'en sciences appliquées, on ne s'embête pas à faire des approximations, pour simplifier les études. C'est un point d'achoppement entre matheux et physiciens, ça.Un de ces trucs qui fait qu'on se bouffe le nez pendant des heures (ce qui n'a pas grand sens : il est bien souvent fort difficile de démêler maths et physique dans bien des recherches actuelles). Ce monsieur conclut :

"Un ingénieur n'est pas payé pour faire les choses parfaitement, mais pour les faire juste assez pour que ça marche."

J'ai trouvé cette phrase intéressante : c'est vrai qu'elle va dans le sens de "un peu les deux" comme réponse à la question initiale. La réalité invoque des maths à tous les coins de rue, mais peut-être leur formalisation idéale, "pure", est-elle une représentation purement intellectuelle ?

Spéciale dédicace à Bruce Benamran : 

Aristote en pleine expérience de gravitation

Quel jour il est ?

En cinquième, nous avons travaillé, en mars, sur la mesure du temps.

Voici l'extrait du programme relatif à ce thème :

La manipulation de grandeurs qui impliquent les unités de temps est à mon sens fondamentale. C'est une nécessité, pour comprendre le monde qui nous entoure, de mesurer le temps, de percevoir les durées, d'être capable de donner des ordres de grandeur dans différentes unités.
En troisième, les élèves sont souvent en difficulté devant des exercices qui mobilisent ces compétences. Dès qu'un exercice aborde la notion de vitesse ou demande une conversion d'heure décimale en heures-minutes (1,3 heure n'équivaut pas à 1h03min ou 1h30, non non non), c'est la panique.

D'autre part, c'est l'occasion de réactiver les acquis sur la proportionnalité, ce qui est utile dans tous les niveaux également.

C'est pourquoi je consacre dans tous les niveaux un certain temps à ce thème.

Avec les cinquième, voici les documents sur lesquels nous avons travaillé :

La fiche de leçon tout d'abord :

Et ensuite la fiche d'exercices.

C'est la fiche de cours qui a déclenché une vague de questions. C'est tous les ans la même chose, car le temps et sa mesure sont des notions qui fascinent et interrogent beaucoup d'élèves. Mais cette année, petite variante : j'ai été interrogée sur des notions d'astronomie, comme chaque année, mais surtout sur des questions de calendrier. Et là, je n'avais pas réponse à tout.

Alors j'ai noté les questions dont j'ignorais les réponses, et je me suis rendue dans ma bibliothèque municipale. J'ai emprunté quatre ouvrages sur le calendrier, la mesure du temps, le temps et le système solaire, et j'ai lu, pendant mes récrés. Le livre "Le monde du temps" est celui qui m'a fourni le plus de réponses, ainsi que cette page. Voici donc, en vrac, un condensé des réponses que j'ai pu apporter aux élèves avant qu'ils ne partent en vacances :

• Le calendrier de l'Egypte ancienne comportait 365 jours, répartis en douze mois auxquels s'ajoutaient 5 jours complémentaires. C'était un progrès par rapport aux calendriers lunaires (10 mois de 29 et 30 jours alternés , soit une année de 295 jours), mais cela générait un décalage d'un quart de jour par an, donc d'un mois en 120 ans. Philippe de la Cotardière écrit "Les mois dérivaient parmi les saisons". J'aime bien cette image. 

• Sous le règne de Jules César, l'année comptait quatre mois de 31 jours (martius , maius , quintilis et october), sept mois de 29 jours (aprilis, junius, sextilis, november, december, januarius), et un mois de 28 jours (februarius). Les mois d'un nombre impair de jours étaient censés plaire aux dieux, et février était consacré aux dieux infernaux (februus était un dieu des morts et februare signifie purifier). L'année durait alors 355 jours. C'était trop court, c'est pourquoi un mois supplémentaire (mensis intercalaris) fut intercalé tous les deux ans en février. 22 ou 23 jours étaient alors ajoutés . Les pontifes décidaient de la durée du mois intercalaire de façon à rétablir l’accord avec les saisons. 

• En 30 avant JC, l'empereur Auguste réforma le calendrier. Trois années consécutives comportaient 365 jours, et la quatrième 366. Auguste décida de rebaptiser le mois "sextilis", en "augustus". Mais ce mois ne pouvait pas compter un nombre de jours pairs (les dieux n'aiment pas, vous vous souvenez), et il ne pouvait pas non plus compter moins de jours que le mois de Julius (on a sa dignité tout de même). D'où, après bidouilles, un calendrier proche de celui que nous le connaissons : 31 jours pour juillet et 31 jours pour août, et février se retrouvait ainsi avec 28 jours les années normales et 29 jours les années bissextiles (sa durée avait été variable sous Jules César).

Fragment d'un calendrier romain de l'époque de l'empereur Auguste ; les jours y sont désignés par les lettres de A à H ( période de huit jours ) . La lettre N désigne un jour néfaste , le F désigne un jour faste et le C ( comitiaux ) pendant lesquels pouvaient être convoqués les comices , assemblées générales du peuples .

• En 1582, le Pape Grégoire XIII réforma le calendrier de façon à réduire le décalage entre le Soleil et le calendrier julien (10 jours, à l'époque). L'année solaire ne durant pas 365,25 jours mais 365 jours 5 heures 48 minutes 46 secondes, le calendrier julien avait trois-quarts d'heures de trop , soit un jour entier tous les 128 ans . Grégoire décida de supprimer dix jours, de sorte que le printemps soit le 21 mars. Il fallait donc reconsidérer le nombre de jours dans une année, pour éviter que le même problème ne se reproduise. C'est pour cette raison que les années se terminant par 00 ne sont bissextiles que si elles sont divisibles par 400.

• Le début de l'année a pas mal varié lui aussi. Longtemps au moment du printemps (en mars, d'où SEPTembre, OCTobre et ainsi de suite), il a été placé à Pâques (pas pratique : la date de Pâques n'est pas la même d'une année sur l'autre), à Noël, à l'Annonciation, le premier janvier, lepremier jour de l'automne (sous la Révolution, car c'était l'anniversaire de la proclamation de la République). En 1567, un édit de Charles IX , fixa le 1er janvier comme le 1er jour de l’année.


• Ce n'était pas une question des élèves mais j'ai trouvé amusant l'explication du mot "canicule", que j'ignorais. Les Egyptiens avaient remarqué que la montée des eaux du Nil coïncidait avec l'apparition d'une étoile très brillante à l'Est, qui semblait avertir les agriculteurs. Ils la baptisèrent "le chien". Les Grecs réutilisèrent cette appellation et imaginèrent plus tard la silhouette d'un chien à partir de cette étoile. Les Romains modifièrent son nom en 'la peine chienne", autrement dit, "canicula". Ce nom demeura ensuite, et comme l'étoile (Sirius, en fait) apparaissait au moment des jours chauds de l'été, le mot "canicule" est resté.

L'Amérique d'Al Biruni

Un article de courrier international n°1207, dont on retrouve la source dans The Express Tribune du 10 janvier 2014, s'intitule XIe siècle – Le Persan qui a découvert l’Amérique. Frederick Starr, dans le magazine History Today, en est convaincu.

Ce Persan, c'est Al Biruni, un érudit né en 973 là où de nos jours se trouve l'Ouzbékistan. Ce monsieur était un brillant touche à tout : mathématicien, astronome, philosophe, physicien, historien (entre autres), il maitrisait plusieurs langues. Il est en particulier connu pour avoir étudié la thèse de la rotation de la Terre autour de son axe et autour du Soleil. En hommage à l'astronome qu'il fut, un cratère d'impact sur la face cachée de la Lune porte son nom.

un manuscrit d'Al Biruni

Mais revenons à nos moutons et surtout à l'Amérique. Al Biruni n'y posa jamais un orteil. Pourtant, il pourrait être considéré comme un découvreur de l'Amérique.
Biruni avait étudié Ptolémée et ses contemporains. Il voyagea beaucoup, observa, mesura. De tout cela il déduisit que la Terre est ronde. A 30 ans, il en calcula même la circonférence précise, à l'aide des outils de son époque. Puis il entreprit de placer sur la sphère terrestre les lieux connus. Et là, il s’aperçut que cela ne représentait que deux cinquièmes du globe. Peu convaincu par la conjecture d'un gigantesque océan, Biruni en conclut qu’un ou plusieurs autres continents devaient exister. Continents sans doute habités, pensa-t-il, en s'appuyant sur ses données collectées sur les latitudes et les longitudes des lieux connus.

Alors en réalité, Al Biruni n'a pas "découvert" l'Amérique comme l'a fait Christophe Colomb (et d'autres avant lui, comme les Vikings, qui explorèrent le Groenland). Mais il a compris qu'elle existait sans doute, et a cherché à transformer son intuition en démonstration.
Quelle époque fantastique où tant de terres restaient à découvrir... Quel homme remarquable qu'Al Biruni, qui vécut pour comprendre, pour transmettre...

Une carte du monde d'Al Biruni

Tic, tac, tic, tac

Question d'élève : pourquoi  une heure dure-t-elle soixante minutes et pas cent, ce qui serait quand même rudement plus pratique pour les calculs.

Remontons le temps, puisque c'est de temps qu'il s'agit. 5000 ans en arrière, et nous allons faire un tour chez les Babyloniens (en Irak). 

Un petit rappel tout d'abord, sinon je sens que T., E. ou J. vont me poser la question: l'année est définie par le temps que met la Terre pour faire un tour complet autour du Soleil. La journée est définie par le temps que met la Terre pour faire un tour autour d'elle-même. Comme la Terre tourne environ 365 fois et un quart autour d'elle-même en même temps qu'elle effectue un tour complet de Soleil, l'année dure 365 jours trois années de suite puis 366 la quatrième année, pour "rattraper" les quarts de jour "perdus" (je résume).

A Babylone comme aujourd'hui dans mes classes, on compte sur ses doigts. Mais pas comme nous, de un à dix. On compte en touchant chacune de ses phalanges avec le pouce. Et comme la plupart du temps nous avons quatre doigts constitués de trois phalanges, plus le pouce, cela amène à compter en base douze. Douze heures de jour, douze heures de nuit, vingt-quatre heures puisqu'on a deux mains, douze mois dans l'année, douze constellations principales (correspondant aux douze signes zodiacaux).

Pourquoi ce choix de douze ? En dehors du fait qu'il est simple à utiliser avec ses mains (comme notre système), le nombre douze a pour avantage d'être divisible par 1, 2, 3, 4, 6 et 12 (alors que 10 est divisible par 1, 2, 5 et 10 "seulement"). Si on compte en base douze, 12, 24, 60, 360 sont des nombres pratiques, au même titre que 10, 100 ou 1000 pour nous :

• 12=12x1 
• 24=12x2
• 60=12x5
• 360=12x30

On choisit donc le nombre 60 pour plusieurs raisons : 60 est multiple de 12 et 60 minutes (pour une heure) se décomposent en fraction d'heure facilement: 60 est divisible par 1 (oui, bof, d'accord), 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60 (bof aussi, mais les autres diviseurs, c'est pratique!). On peut donc parler de demi-heure, de quart d'heure, de cinquième d'heure et tout et tout.

Le lien avec 360 est pratique : les Babyloniens avaient observé qu'il s'écoulait à peu près 360 jours avant que le cycle des saisons et celui des constellations ne recommence. On pouvait donc représenter l'année en un disque, divisé en 360 secteurs (d'où 360 degrés).

Notons d'ailleurs que quelques essais de découpage du temps différents ont été tentés, avec des grades, des 100 minutes et des 100 secondes. Mais ils ont été bien vite abandonnés car leur application a posé des problèmes.

 J'entends déjà T. ou E. me rétorquer : bah d'accord pour les divisions de temps en 12, en 24 ou en 60, multiples de 12. Mais alors pourquoi 7 jours ? Ce n'est pas dans la table de 12, le nombre 7.

Certes. Mais là, les Babyloniens ont procédé autrement : ils ont découpé la semaine en autant d'astres qu'ils parvenaient à observer: le Soleil, la Lune, Mars, Mercure, Jupiter, Vénus et Saturne. Nous avons d'ailleurs conservé cette idée :

• Lundi : jour de la Lune
• Mardi : jour de la planète Mars
• Mercredi : jour de la planète Mercure
• Jeudi : jour de la planète Jupiter
• Vendredi : jour de la planète Vénus
• Samedi : jour de la planète Saturne
• Dimanche : jour du Soleil

    Ce qui est rigolo, c'est qu'on aurait pu allonger les semaines au fur et à mesure des découvertes astronomiques : une semaine aurait duré jusqu'à dix jours avant de revenir à neuf avec le "déclassement" de Pluton.

Milky Way, pas la barre chocolatée, l'autre

Voici une vidéo qui propose une simulation de notre galaxie. Avec une pensée pour mes 5ème1, qui sont fans d'astro.