- Moi madame jsais quel nombre que vous zaimez pas.
- Ah bon... Ben tu en sais plus que moi, alors. C'est quel nombre, que je n'aime pas, selon toi ?
- Ben le zéro ! Vous arrêtez pas de dire qu'il est nul, et vous vous en rendez même pas compte !
Bon, ça m'a fait rire, d'un rire tout franc et sans malice. Mais j'ai bien vu que j'avais vexé mon petit élève... Alors j'ai un peu fait le clown, pour que le rire vienne de partout, y compris de lui. J'ai expliqué comme je trouvais le zéro sympa, avec son gros bedon régulier. J'ai raconté
comment je l'imagine, depuis que je suis enfant : pour moi, le zéro, il a une grosse moustache qui rebique, le genre luisante de brillantine. Et quand il se déplace, son corps "bloblotte" ("bloblotter" est-il un terme universel...?). Lorsqu'un nombre passe tout près de lui, hop, il se trouve comme aspiré brutalement. Ca fait schlurp et voilà, le nombre a disparu. C'est ma représentation depuis la sixième, depuis que
ma prof de maths (madame Grégoire) nous a expliqué pour le zéro est l'élément absorbant pour la multiplication. Nous avons réfléchi, y a-t-il un élément absorbant pour l'addition, et nous sommes arrivés à l'élément neutre, pour l'addition, pour la multiplication. Ca m'a bien plu, tout ça.
J'ai pu revenir à l'adjectif "nul", à son absence de jugement de "valeur" (autre que mathématique, pfiou c'est compliqué) et à l'utilisation que l'on peut faire hors contexte mathématique de l'adjectif "nul".
Pour finir cette parenthèse, qui en fait a pris peu de temps, une élève m'a demandé d'où venait le mot "zéro". Et ça, je ne savais pas. Alors j'ai cherché sur Etymologie pour le prof de maths, qui en général répond à mes questions en la matière. J'ai trouvé ceci : Zéro : contraction de l'italien zefiro, de l'arabe sifr, zéro, vide, du sanscrit sunya, vide.
Justement, nous avons évoqué cette idée de vide : le zéro désigne-t-il l'absence de quelque chose, le rien, ou est-il quelque chose ? Mais nous ne sommes pas allés plus avant. Il faudrait que je lise à la classe des extraits du One Zero Show de Denis Guedj, je crois qu'ils sont prêts, mes louloups.
Toujours en sixième, toujours aujourd'hui. Nous travaillions sur un exercice de vocabulaire : il fallait nommer des triangles. D'abord des triangles "quelconques" (ouuuuh, mot mal choisi, on aurait dû dire scalènes !), des triangles isocèles, des triangles équilatéraux. Nous avions pour appui une figure de ce type :
Dans la catégorie "triangles équilatéral", il y a eu consensus : ABE. Il a fallu un peu de temps pour nous accorder sur le fait que AEB, BEA, EBA et ainsi de suite, c'était juste aussi , mais que cela désignait le même triangle. Un élève a conclu : "Ah donc les lettres d'un triangles, elles sont commutatives, mais dans un carré non sinon on risque de le traverser". Ben oui.
Dans la catégorie "triangles isocèles", DEC. Ca a coincé quand j'ai tenté de proposer que le triangle équilatéral est isocèle aussi. J'ai donc botté en touche, et on verra plus tard pour revenir là-dessus.
Et la catégorie "triangles quelconques" ? Sur la figure présentée ici, selon mes élèves, il n'y en a a priori aucun. Faussement perplexe, je demande : "Aaaah booon ? Vous êtes sûrs, aucun, vraiment ?". Un élève tente : "CBD ?"
"Ah non, réagissent ses camarades ! CBD c'est pas un triangle : y'a un côté qu'est un arc de cercle, ça ne va pas."
Là encore, le souci est lié à la notation : CBD, ok, je suis le chemin tracé entre les points. Les élèves (et c'est normal) n'imaginent pas, dans un premier temps. Ils vont d'un point à l'autre seulement si c'est autorisé, et déjà tracé. Qu'il soit légitime de parler du triangle EBD, par exemple, fait naître une discussion animée. Pire, BAC ! Autrement dit, doit-on considérer que n'existe que ce qui est physiquement représenté, et codé en ce sens ? Et que je trace un ou deux segments, paf, cela donne de l'existence à des triangles qui n'existaient pas ?
Nous avons eu le temps de débattre et, je crois, de nous mettre d'accord, grâce à l'argumentation des uns et des autres. Mais je suis toujours admirative de la profondeur de la réflexion des élèves de sixième, de leur liberté de parole. Etre "petit" n'empêche décidément pas de penser grand.
Une de mes élèves de troisième m'a demandé quelle était l'origine étymologique des mots "sphère" et "boule". Alors voilà : "boule" vient du latin bulla, qui signifie « objet sphérique, bulle d’eau ». Quant à "sphère", le mot viendrait du latin sphaera (« sphère ») et du grec ancien σφαῖρα, sphaîra (« balle, ballon, globe »).
Du coup, on ne retrouve pas du tout étymologiquement la distinction mathématique entre les deux objets : si r est un nombre positif et O un point de l'espace,
la sphère de centre O et de rayon r est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O égale à r ;
la boule de centre O et de rayon r est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O inférieure ou égale à r.
Pour les élèves, cela devient rapidement "la boule est pleine, la sphère est creuse", même si cette année mes élèves se sont plutôt interrogés sur l'existence réelle de tels objets (en particulier la sphère) ou sur leur nature purement mentale.
D'ailleurs, on parle aussi de boule ouverte (la boule sans la sphère) ou de boule fermée (avec), dans une branche magnifique des maths qu'est la topologie.
Blague (de prof de maths)
Pour terminer sur le sujet, un peu d'Oulipo, de Michèle Audin :
Ca m'arrive régulièrement, mais quand même... Je passe dans le hall et une élève (que je ne connais pas, par ailleurs) m'interpelle. Elle commence par un gentil "Bonjour madame Lommé !" et continue d'un ton tout aussi gentil, et curieux :
"Madame, vous auriez fait quoi si vous aviez réussi, dans la vie ?"
"Heuuuu ben en fait tu vois, je voulais être prof, moi..."
"Ah oui d'accord..."
(blanc)
"Non mais c'est bien qu'il y en ait qui avaient envie de faire ça, hein."
(re-blanc)
"Mais c'est bizarre, quand même. Pourquoi vous avez eu envie d'être prof, et en plus de maths ?"
Une maman d'élève m'a suggéré au cours d'une discussion de travailler sur le sens des réductions en pourcentage pendant les soldes. Sa fille ne comprend pas bien comment elles fonctionnent, comment on détermine les nouveaux prix, après soldes. L'idée m'a plu, alors j'ai préparé cette fiche:
et en route pour notre activité.
Consigne imaginée : débrouillez-vous, en binôme. Vous avez un quart d'heure.
Consigne réelle : non mais ne paniquez pas, attendez, je vais vous expliquer et on le fera après!
En effet, mes pauvres petits sixièmes étaient 80% à avoir des yeux agrandis de 230%... J'ai entendu en flot :
- mais madaaaame, c'est pareil -70% et -70€ ? Mais c'est pas possible !
- comment on fait ?
- ça veut dire quoi en fait ?
- je sais pas!!!
- faut taper quoi comme calcul sur la calculatrice ? Et comment on fait égal dessus déjà?
Oh là là, la cata !
Nous avons donc repris. Je suis revenue aux fondamentaux : l'idée de référence 100, pour pouvoir comparer, le concept de relativité et d'absolu (pas dans ces termes, évidemment, ils avaient déjà eu un moment de panique). Mais j'ai eu l'impression de patauger. A ma question "Deux paires de bottes coûtent initialement 49,99€. Si vous voulez vous arrondissez à 50€ si ça vous facilite les choses. L'une des deux bénéficie d'une réduction de 70%, l'autre de 40%. laquelle aura un prix soldé plus avantageux pour moi ?", j'ai eu pour réponses :
- Heuuuuuuuuuuu
- Celle à 40% ? Heu non, l'autre. Ah, chais pas !
- Ca dépend, non ? Ca dépend pas ? Si, non ?
- Mais c'est des "pourcent-euros", ou des "pourcent-autre chose"?
- On peut répondre en étant sûr, à cette question-là?
J'ai alors décidé de revenir à des applications plus simples, et nous reprendrons la prochaine fois. Nous les corrigerons, et ensuite je proposerai aux élèves une activité du même style.
Quel flop !!! Re-ten-tiss-ant !
Mais cela me conforte dans mon objectif, et je remercie la maman d'élève qui m'a mise dans une telle galère : il y a beaucoup à travailler sur ce thème, qui est important au quotidien pour comprendre tout ce qui se passe.
- Alors là, une fois obtenue la valeur de AB au carré, je fais quoi ? - Faut prendre la racine carrée ! - Oui, et pourquoi ? - Parce que ça enlève le carré. - La racine carrée et le carré sont des fonctions réciproques, en effet ; la racine carrée et le carré, consécutifs comme ça, se simplifient. Notez qu'on ne doit pas dire qu'ils s'annulent : le résultat n'est pas zéro. - Non, ça fait pas zéro, ça fait 5. Racine de 25 ça fait 5. - Voilà. - Mais par exemple ça fait combien racine de trois ? Comment on calcule ça ? - Hé bien trois n'est pas un carré parfait, alors tu laisses racine de trois si on exige de toi la valeur exacte ; et tu donnes une valeur approchée à la calculatrice si on te demande une valeur approchée. Extraire une racine à la main, c'est complexe. Cela fait bien longtemps que cela ne s'enseigne plus ; probablement que les gens de soixante, soixante-dix ans l'ont appris. - (chuchoté) Ben alors elle elle a appris, tu crois pas ? - (chuchoté en réponse) Chuis pas sûr... Demande pas.
Pour les curieux, la racine carrée à la main : ici
Même matinée : - Brahmagupta a défini le zéro comme la différence d'un nombre avec lui-même. Dans le conte mathématique qu'on a vu là, vous voyez, l'idée de zéro n'est pas si évidente au départ et on a longtemps compté sans avoir l'idée même de zéro. - Madaaame, il a vécu quand Brahmagupta ? - Le monsieur l'a dit, dans la vidéo : vers les années 600. - Ah d'accord. C'est il y a longtemps alors. Vous l'avez connu vous ?
Pour les tout aussi curieux, Brahmagupta : là.
Nous venons, en troisième, de terminer l'arithmétique. J'avais envie de commencer par ce chapitre, cette année, car il est nouveau et en même temps il revient aux fondamentaux, d'une certaine façon : les nombres. Cela m'a permis de glisser ma première séance d'histoire des arts, sur Opalka (je tenais à parler histoire des arts tôt dans l'année). Mais cela m'a aussi amenée à devoir dire "Non, tu t'es forcément trompé, zéro ne peut pas être le PGCD de ces deux nombres".
Oui, mais pourquoi est-ce impossible ?
Une élève m'a répondu, fort justement : parce que le nombre 1 est diviseur de tous les nombres entiers, donc au pire le PGCD est 1, pas 0. C'est vrai.
Mais au-delà ce cela, pourquoi 0 ne peut-il pas être PGCD de deux nombres ? Parce qu'il ne peut pas être diviseur, tout simplement. Ah oui, mais en fait ce n'est pas "simple". Et expliquer pourquoi à des élèves de collège n'est pas forcément aisé non plus.
Voici une vidéo qui présente des réponses à cette question :
Je pense que pour le moment mes élèves ont accepté que 0 ne puisse pas diviser. Mais je crains que ce soit sur ma bonne mine qu'ils m'aient crue. Je vais revenir à l'attaque, lorsque nous traiterons des équations, au détour des recherches d'antécédents d'un nombre par une fonction donnée.
Vendredi, un élève de quatrième m'a demandé :
" Mais madame, un angle droit, pourquoi on l'appelle comme ça ? Ca vient d'où, en fait ?"
Voilà ce qui arrive lorsqu'on fait souvent appel à l'étymologie pour expliquer des notions : les élèves s'approprient l'outil. Bon ben là, je ne savais pas. J'ai donc fait comme d'habitude dans cette situation : je l'ai noté et je lui ai dit que je lui répondrai lundi. Ne pas savoir ne m'a pas gênée, mais ne jamais m'être posé la question, si.
J'en ai profité pour faire une petite recherche sur les angles droits en général.
Comment définit-on un angle droit ?
Chez Wikipedia : Dans le plan euclidien, deux droites sécantes définissent quatre angles deux à deux égaux. Lorsque ces quatre angles sont égaux, chacun forme un angle droit. Les droites sont alors dites perpendiculaires. Un angle droit est donc un quart de tour, ou encore la moitié d'un angle plat.
Cette définition fait référence à celle d'Euclide, au iiie siècle avant J.-C., dans ses Éléments, livre I, Définition 10 :
« Lorsqu'une droite tombant sur une droite fait les angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit. »
Sur le site ASP (assistance scolaire personnalisée), la définition directement évoque la mesure de l'angle droit : Un angle droit est un angle de 90°. Ses deux côtés sont perpendiculaires.
Sur le Matou Matheux, c'est la notion de perpendiculaire qui est évoquée :
Un angle droit a ses côtés perpendiculaires.
C'est souvent un peu délicat de définir un angle, en classe. Et au niveau du collège, l'angle droit est déjà connu et fait rarement l'objet d'une définition formelle. Je trouve ces trois définitions intéressantes car vraiment différentes.
La première est sans doute la moins naturelle pour des élèves. Elle a l'intérêt de s'appuyer sur une approche historique, en référence par exemple à Euclide, et de se suffire à elle-même : elle n'utilise aucune unité de mesure, ni la notion de perpendicularité, qu'elle introduit même.
La deuxième définition, elle, est "utilitaire" : l'angle droit est défini par sa mesure, en degrés. J'y vois comme inconvénient que l'angle droit est défini après l'apprentissage de l'utilisation du rapporteur. Or on apprend à utiliser la rapporteur en sixième et on apprend l'angle droit avant. C'est donc plus un rappel, mais qui est davantage une propriété qu'une définition. De plus, le degré n'est pas la seule unité de mesure d'angle, ce qui affaiblit encore davantage cette version.
La troisième définition se rapporte seulement à la perpendicularité. D'accord, mais à condition de ne pas tourner en rond : comment définir la perpendicularité? Voilà ce que le Matou Matheux (excellent site par ailleurs, attention) propose :
On voit bien le problème : la "définition" donnée est visuelle et se rapporte implicitement à l'angle droit. Cela dit, il n'est pas cité.
Evidemment, toute la question est de savoir si c'est utile pour les élèves de connaître la définition d'un angle droit. Le principal est qu'ils sachent les identifier et les nommer. Cependant je trouve intéressant de leur montrer comme définir certaines notions est complexe. Ici, nous en avons un bon exemple, avec des notions dont ils sont familiers : les angles droits et les droites perpendiculaires.
Sue le site Primaths, j'ai trouvé deux documents destinés aux élèves de primaire qui m'ont semblé intéressants, y compris en collège avec des élèves en difficulté sur ce thème et pour la réflexion personnelle des enseignants : ici et là.
Et l'étymologie alors ?
Le mot "angle" vient du latin "angulus" (qui signifie aussi angle, jusque là rien d'ébouriffant), qui lui-même vient du grec "gonos" qui signifie genou. C'est plus rigolo, déjà, de définir un angle par l'idée de genou, et c'est drôlement clair.
Le mot "droit" vient de rectus en latin, qui signifie debout. C'est une référence à la verticalité d'un des côtés de l'angle doit si l'autre côté est horizontal. Là aussi c'est parlant, les élèves confondant souvent les mots "horizontal" et "parallèle" et les mots "vertical" et "perpendiculaire", lorsqu'on travaille le repérage. Cela donne des affirmations du style : "l'ordonnée, c'est ce qu'on lit sur l'axe perpendiculaire, et l'abscisse elle est sur l'axe parallèle ?".
Enfin, en bonus, grâce au Matou Matheux encore,
parallèle
vient du grec parallêlos de para à côté et de allêlon l'un l'autre
perpendiculaire
vient du latin perpendiculum fil à plomb
Quoi d'autre sur les angles droits ?
Hé bien tout de même, une référence à Le Corbusier et son Poème de l'Angle Droit. Le Corbusier était "obsédé" par l'Angle droit. Il avait" proposé de raser le centre de Moscou, ne laissant que le Kremlin et les églises, et de remplacer le plan circulaire de la ville par des structures rectangulaires." (lire ici)
En cinquième, nous avons travaillé, en mars, sur la mesure du temps.
Voici l'extrait du programme relatif à ce thème :
La manipulation de grandeurs qui impliquent les unités de temps est à mon sens fondamentale. C'est une nécessité, pour comprendre le monde qui nous entoure, de mesurer le temps, de percevoir les durées, d'être capable de donner des ordres de grandeur dans différentes unités.
En troisième, les élèves sont souvent en difficulté devant des exercices qui mobilisent ces compétences. Dès qu'un exercice aborde la notion de vitesse ou demande une conversion d'heure décimale en heures-minutes (1,3 heure n'équivaut pas à 1h03min ou 1h30, non non non), c'est la panique.
D'autre part, c'est l'occasion de réactiver les acquis sur la proportionnalité, ce qui est utile dans tous les niveaux également.
C'est pourquoi je consacre dans tous les niveaux un certain temps à ce thème.
Avec les cinquième, voici les documents sur lesquels nous avons travaillé :
La fiche de leçon tout d'abord :
Et ensuite la fiche d'exercices.
C'est la fiche de cours qui a déclenché une vague de questions. C'est tous les ans la même chose, car le temps et sa mesure sont des notions qui fascinent et interrogent beaucoup d'élèves. Mais cette année, petite variante : j'ai été interrogée sur des notions d'astronomie, comme chaque année, mais surtout sur des questions de calendrier. Et là, je n'avais pas réponse à tout.
Alors j'ai noté les questions dont j'ignorais les réponses, et je me suis rendue dans ma bibliothèque municipale. J'ai emprunté quatre ouvrages sur le calendrier, la mesure du temps, le temps et le système solaire, et j'ai lu, pendant mes récrés. Le livre "Le monde du temps" est celui qui m'a fourni le plus de réponses, ainsi que cette page. Voici donc, en vrac, un condensé des réponses que j'ai pu apporter aux élèves avant qu'ils ne partent en vacances :
Le calendrier de l'Egypte ancienne comportait 365 jours, répartis en douze mois auxquels s'ajoutaient 5 jours complémentaires. C'était un progrès par rapport aux calendriers lunaires (10 mois de 29 et 30 jours alternés , soit une année de 295 jours), mais cela générait un décalage d'un quart de jour par an, donc d'un mois en 120 ans. Philippe de la Cotardière écrit "Les mois dérivaient parmi les saisons". J'aime bien cette image.
Sous le règne de Jules César, l'année comptait quatre mois de 31 jours (martius , maius , quintilis et october), sept mois de 29 jours (aprilis, junius, sextilis, november, december, januarius), et un mois de 28 jours (februarius). Les mois d'un nombre impair de jours étaient censés plaire aux dieux, et février était consacré aux dieux infernaux (februus était un dieu des morts et februare signifie purifier). L'année durait alors 355 jours. C'était trop court, c'est pourquoi un mois supplémentaire (mensis intercalaris) fut intercalé tous les deux ans en février. 22 ou 23 jours étaient alors ajoutés . Les pontifes décidaient de la durée du mois intercalaire de façon à rétablir l’accord avec les saisons.
En 30 avant JC, l'empereur Auguste réforma le calendrier. Trois années consécutives comportaient 365 jours, et la quatrième 366. Auguste décida de rebaptiser le mois "sextilis", en "augustus". Mais ce mois ne pouvait pas compter un nombre de jours pairs (les dieux n'aiment pas, vous vous souvenez), et il ne pouvait pas non plus compter moins de jours que le mois de Julius (on a sa dignité tout de même). D'où, après bidouilles, un calendrier proche de celui que nous le connaissons : 31 jours pour juillet et 31 jours pour août, et février se retrouvait ainsi avec 28 jours les années normales et 29 jours les années bissextiles (sa durée avait été variable sous Jules César).
Fragment d'un calendrier romain de l'époque de l'empereur Auguste ; les jours y sont désignés par les lettres de A à H ( période de huit jours ) . La lettre N désigne un jour néfaste , le F désigne un jour faste et le C ( comitiaux ) pendant lesquels pouvaient être convoqués les comices , assemblées générales du peuples .
En 1582, le Pape Grégoire XIII réforma le calendrier de façon à réduire le décalage entre le Soleil et le calendrier julien (10 jours, à l'époque). L'année solaire ne durant pas 365,25 jours mais 365 jours 5 heures 48 minutes 46 secondes, le calendrier julien avait trois-quarts d'heures de trop , soit un jour entier tous les 128 ans . Grégoire décida de supprimer dix jours, de sorte que le printemps soit le 21 mars. Il fallait donc reconsidérer le nombre de jours dans une année, pour éviter que le même problème ne se reproduise. C'est pour cette raison que les années se terminant par 00 ne sont bissextiles que si elles sont divisibles par 400.
Le début de l'année a pas mal varié lui aussi. Longtemps au moment du printemps (en mars, d'où SEPTembre, OCTobre et ainsi de suite), il a été placé à Pâques (pas pratique : la date de Pâques n'est pas la même d'une année sur l'autre), à Noël, à l'Annonciation, le premier janvier, lepremier jour de l'automne (sous la Révolution, car c'était l'anniversaire de la proclamation de la République). En 1567, un édit de Charles IX , fixa le 1er janvier comme le 1er jour de l’année.
Ce n'était pas une question des élèves mais j'ai trouvé amusant l'explication du mot "canicule", que j'ignorais. Les Egyptiens avaient remarqué que la montée des eaux du Nil coïncidait avec l'apparition d'une étoile très brillante à l'Est, qui semblait avertir les agriculteurs. Ils la baptisèrent "le chien". Les Grecs réutilisèrent cette appellation et imaginèrent plus tard la silhouette d'un chien à partir de cette étoile. Les Romains modifièrent son nom en 'la peine chienne", autrement dit, "canicula". Ce nom demeura ensuite, et comme l'étoile (Sirius, en fait) apparaissait au moment des jours chauds de l'été, le mot "canicule" est resté.
Vendredi, séance bibliothèque de classe de quatrième : je sélectionne un certains nombres de livres, de BD de de vieux cahiers de mathématiques et je les propose aux élèves. Ceux qui en ont envie ont le droit d'emprunter le document, avec pour consigne de le lire et de m'en ramener une critique. Pas un résumé, mais leur avis personnel. Et s'ils n'arrivent pas à le lire en entier, la consigne est de m'expliquer ce qui les a bloqués.
Mon idée est de faire circuler ces documents de façon à obtenir des critiques différentes, si possibles contradictoires mais argumentées. Nous verrons ce que cela donnera.
Parmi les documents, j'ai glissé mon cahier de 4ème-3ème. Je savais bien que ce cahier attirerait les élèves, et j'ai demandé qu'ils relèvent ce qui les étonne, les différences qu'il perçoivent dans le fond et la forme des notions enseignées. Dans mon vieux cahier, il y avait une copie. Lorsque je l'ai vue, cela m'a fait sourire : une évaluation de quatrième, à laquelle j'avais obtenu 9,5/20 ! J'étais une "bonne élève" et, si je n'ai aujourd'hui aucun souvenir de cette évaluation, j'imagine le drame que cette performance a dû générer, à l'époque...
J'ai montré la copie à mes élèves : comme quoi, on peut "se gameller", comme ils disent, et réussir tout de même scolairement et professionnellement. (je sais que pour beaucoup de gens être enseignant n'est pas une réussite professionnelle mais un choix par défaut ou une drôle d'idée, mais pour moi c'était mon objectif, ma vocation. Et oui. En plus, j'assume.) Un de mes élèves m'a demandé si il pouvait examiner la copie en question. Je la lui ai confiée, et au bout de quelques minutes, il m'a dit :
"Mais madame, elle vous a oublié des points, la prof !"
Ah ben d'accord. J'ai recompté et au final mon élève a raison. Ca alors.
Pourquoi n'ai-je pas fait modifier ma note ? Etais-je trop dévastée d'avoir eu moins de 17 ? N'ai-je pas osé, car mon professeur de mathématiques était très rigoureux, très exigeant et très difficile d'accès ? Peut-être, timide comme je l'étais, n'ai-je pas osé aller la voir pour lui demander les points en plus... Dont d'ailleurs je doute qu'elle m'ai gratifiée a posteriori.
C'est tout de même amusant que ce soit un élève de 2014 qui s'en rende compte ! Merci Elhadji !
A l'occasion de l'étude des valeurs approchées, nous avons parlé du symbole "=" et du symbole "≈", avec ses deux petites vagues l'une au-dessus de l'autre. Les élèves connaissaient la version de ce symbole avec un trait horizontal et une vague au-dessus, mais ont semblé étonnés de ma proposition.
Sur Maths 93, on peut lire que ≈, "presque égal", a été employé en 1875 par Anton Steinhauser dans der Mathematik de Lehrbuch,« Algèbre ». Le même symbole a été employé en 1832 par Wolfgang Bolyai pour signifier l'égalité absolue. Mais je n'ai rien trouvé sur le signe environ sous une de ces formes :
ou
Le signe "=", lui, date de 1557. Il a fait son apparition, dans The Whetstone of Witte, un recueil de mathématiques écrit par le physicien gallois Robert Recorde. Le but, à l'époque, était surtout d'éviter la répétiton des termes «est égal à», présents à plus de deux cents reprises dans les premières pages du livre. Robert Recorde a alors eu l'idée de créer un symbole, représenté par deux barres parallèles de tailles identiques, afin de remplacer ces quelques mots, «parce que rien ne pouvait être plus égal que ces deux barres» (source : ici, référence à cet article du Guardian). Auparavant, pas de symbole universel. Quelques symboles "personnels" existaient mais les calculs étaient surtout rédigés et écrits en lettres. Cela n'aurait pas beaucoup plu à mes élèves, pour qui justifier par une phrase ou conclure en répondant à la question posée "en français" est fastidieux.
Première apparition du signe =
Mes élèves ont majoritairement exprimé leur préférence pour le symbole avec un trait et une vague. Comme je les interrogeais sur paraison de cette préférence, l'un d'eux m'a expliqué qu'il retenait ce symbole car il lui évoquait "un surfeur dont la planche a coulé à peu près au fond de l'eau", d'où la vague au-dessus de la planche de surf.
Comme quoi les cheminements de nos élèves sont parfois parfaitement inimaginables.
Unisciel est l’Université des Sciences en Ligne. Unisciel promeut les sciences, en s'adressant au plus grand nombre. C'est de là que vient la vidéo sur le nombre pi que j'ai évoquée ici, mais il y a des tas d'autres vidéos, qui répondent à des questions alléchantes et réalisées de façon attractive et claire, appelées les Kezako (dédicace particulière pour Jacques... ) : pourquoi le feu brûle-t-il ? Comment fonctionne un four à micro-ondes ? Pourquoi les arcs-en-ciel sont-ils incurvés ?
En voici une autre, spécialement pour mes élèves de cinquième qui comptent les générations de lapins...
- Madame, j'ai voulu aller sur votre blog et j'ai pas trouvé. - Ah. Comment as-tu fait ?
- Ben j'ai essayé "base fois hauteur divisé par 2" mais ça marche pas !
- ...
- C'est bien l'aire du triangle, non ?
- Non, c'est celle du disque.
- Ah zut. (silence) C'est quoi déjà l'aire du disque ?
- C'est pi fois diamètre
- Non. Qui m'explique pourquoi pi fois diamètre ne peut pas correspondre à l'aire du disque ?
(silence collectif)
- Le diamètre, tu l'exprimes en quoi ?
- En centimètres ou en mètres, comme on veut.
- En unité de longueur, donc. Et pi, tu l'exprimes en quoi ?
- pi ? Ben en rien, pi c'est pi, c'est tout.
- Oui. Vous vous souvenez pourquoi pi, "c'est pi et c'est tout?"
- Il y a une raison ?
J'explique que pi est le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre, animation à l'appui. Du coup je rebondis sur la proposition "pi fois diamètre", et j'enchaîne sur ce que je voulais amener au départ, à savoir que pi fois des centimètres, ça donne des centimètre. Or une aire s'exprime en centimètres au carré ; il y a donc incompatibilité entre cette formule et une aire.
Je reviens enfin sur le choix du symbole pi.
Ouf.
- Ah ouais d'accord. Mais donc c'est quoi la formule pour l'aire du cercle ?
- C'est pi fois rayon fois rayon, et ça marche parce qu'on fait centimètres fois centimètres et ça fait centimètres carrés.
- Des centimètres carrés c'est des centimètres fois des centimètres ?
- Ben tu croyais que c'était quoi ? Des centimètres en forme de carré ?
- Beeen euuh chais pas, moi, c'est bon, je peux poser des questions aussi quand même.
- Been oui tu peux, et en plus tu as raison : "au carré", c'est, même sur une unité, lié à la forme du carré, en deux dimensions. De même que "au cube", c'est lié à l'objet géométrique en trois dimensions qu'est le cube. (Et je ressors du placard mon carré en fil de fer et mon cube en carton, et j'explique).
- Ah oui tiens je n'avais pas vu ça comme ça. C'est rigolo.
- J'avais raison.
- Mais alors avec un petit 4 en haut ça donne quoi ?
- Rien de représentable ainsi dans l'espace, je le crains. Bon, on a des exercices à corriger, je crois ! Qui va corriger le premier, le deuxième ?
- Mais madame, alors votre site c'est pi fois rayon fois rayon ?
- C'est "Pierre carrée", comme une pierre qui serait carrée, mais c'est un jeu de mots avec pi (sous-entendu fois) R (pour rayon au) carré. Tu vois ?
- Ah oui.
Silence collectif à nouveau.
- Un jeu de mots, d'accord. Pierre carrée. C'est drôle, c'est ça ? - Ouah c'est chelou comme nom...
Gros moment de solitude.
Et en plus ça va être chaud pour juste corriger les exos...
Un élève m'a écrit un mail, pour "prendre des nouvelles" (la démarche est sympa, et ça va bien oui merci), et me demander si je ne "m'ennuie pas trop du collège", parce que cet élève, lui, s'"ennuie à mort".
C'est amusant comme les sentiments de beaucoup élèves face aux vacances sont ambivalents. En même temps ils se réjouissent que les vacances approchent, et ils les redoutent. Quand je leur demande pourquoi, les réponses que j'obtiens le plus souvent sont :
- parce que je ne vais plus voir les copains/copines
- parce que je ne sais pas quoi faire
- parce que je vais être tout le temps avec ma famille
- parce qu'il va falloir aller voir Mamie/Tata/etc.
- parce qu'on va faire des trucs tout le temps
- parce que je ne vais plus avoir foot/judo/théâtre/etc.
Pour ces vacances-ci, la réplique ultime, c'est : "D'accord, mais il y a la foire Saint Romain !". Je n'ai qu'un seul élève qui dont le regard ne s'est pas allumé sur ces magiques paroles. Lui, il m'a répondu un morose "J'aime pas le foire.". Ah, zut, toi tu n'as pas de chance.
Je ne me souviens plus de la façon dont j'envisageais les vacances lorsque j'étais élève. Mais maintenant, je les envisage plutôt bien. Et non, je ne m'ennuie pas. D'abord, je ne suis pas équipée pour m'ennuyer. C'est un sentiment que j'ignore. Ensuite, j'aurais du mal, vu le nombre de choses que j'ai à préparer si je veux survivre une fois les cours repris. Outre les copies, la préparation des cours (je refais tout cette année, pour tous les niveaux. (je crois que je dis ça tous les ans)), la correction des copies, de travaux facultatifs (tout ça ???), la mise à jour des compétences, le total d'XP à calculer, les projets à avancer, les nouveaux projets à développer, le blog à mettre à jour, le boulot pour l'ESPE, le bilan des stages animés, les réponses à tous les mails en retard, j'ai aussi des aspirations non professionnelles (et oui, ça paraît dingue, mais je ne suis pas QUE prof) : passer plus de temps avec ceux que j'aime, aller au ciné, regarder l'automne arriver, faire des gâteaux et de bons petits plats, entretenir la maison, aller au musée, jouer avec mon chien, ranger mes placards, chiner dans les foires à tout, jouer sur l'ordi de mon fils, lire des livres qui ne parlent ni de maths ni d'école, me balader, écouter de la musique, regarder des épisodes de mes séries préférées, m'occuper du jardin, dormir jusqu'à me sentir reposée...
Alors tu vois, cher élève, deux semaines, ce n'est pas assez pour que je m'ennuie.
PS : tu veux des fiches de maths ? J'ai trouvé de nouveaux problèmes très chouettes !
Mercredi dernier, j'écrivais mon précédent post sur les solides mous lorsque mon fils est apparu, fraîchement levé, à 11h15. Comme je lui faisais part de mes interrogations physico-mathématico-absurdes, il m'a livré sa vérité, claire comme son chocolat chaud, fruit de la sagesse de l'adolescent qui engloutit son deuxième croissant une heure avant le déjeuner :
" Un liquide, ça peut être un solide seulement si ça bouge pas du tout. Mais un solide mathématique, hein, pas physique. Enfin je pense. "
Il m'a fallu un moment pour apprécier la profondeur du propos.
Hier soir, toute la famille réunie autour de la table reparle "solide". Là, chacun se met d'accord sur la différence entre l'adjectif et le nom commun. Et chef des louveteaux d'asséner : " C'est pas compliqué, il faut arrêter de se poser des questions. Tout le monde sait ce que c'est, un solide. C'est un truc qui résiste quand on appuie dessus. Un truc qu'on passe pas à travers. Vous, c'est différent, parce que c'est en géométrie. Vos solides s'opposent aux figures planes. "
Pffffff, si j'ai envie, je me pose des questions. Nan mais.
Il y a peu, j'avais rédigé un article sur les solides mous et les solides durs. La question m'a tarabustée.
J'ai donc fini par aller voir mon ami dico, et la définition du Larousse m'a donné ceci, pour le nom commun "solide" :
Cette fois ci, mon ami dico ne m'aidera guère. La définition physique ne me parle pas, et le "relativement ferme" ne me satisfait pas non plus.
Ailleurs (dans un cours de CM1), je trouve qu'un solide est un "objet géométrique à trois dimensions". Il dispose d'une hauteur, d'une largeur et d'une longueur. Cela l'autorise à être mou...
En géométrie dans l'espace, on définit en général le solide comme l'ensemble des points situés à l'intérieur d'une partie fermée de l'espace. On souhaite aussi, naturellement, que la surface délimitant le solide soit d'aire finie et que le volume du solide soit aussi fini.
Le solide est un objet naturel de notre environnement, c'est pourquoi il est si difficile d'en donner une définition rigoureuse.
Rhaaaa zut, j'aime bien les définitions rigoureuses, moi !
Encore sur wikipédia :
Pour le physicien, « Le solide est un corps indéformable » Ah. Donc, pour le physicien, ma plaquette de beurre n'est pas un solide.
pour Euclide (livre XI) « est solide ce qui possède longueur et largeur et profondeur, et la limite d'un solide est une surface »
Oh là là, je commence à angoisser sévère. Je sais bien que matheux et physiciens ne sont jamais d'accord, mais là j'aimerais un consensus.
pour Leibniz (1679) « Le chemin suivi par un point se déplaçant vers un autre est une ligne. (...) Le déplacement d’une ligne dont les points ne se remplacent pas sans cesse donne une surface. Le déplacement d’une surface dont les points ne se remplacent pas sans cesse donne un solide. »
J'aime bien Leibniz. C'était un homme brillant, curieux, aussi attiré par les sciences que par les lettre et les humanités. En plus, il a "inventé" le symbole de l'intégrale, qui est bigrement joli. Je perçois bien qu'il suffirait que je relise cette définition calmement pour me l'approprier, mais non. J'y reviendrai une fois reposée.
Bon, me voilà au final bien perplexe. Ca m'apprendra à poser des questions.
Un de mes élèves m'a apporté cette semaine une pierre. Comme nous avions travaillé sur les solides il y a peu, il l'avait considérée différemment et avait compté 14 faces. J'ai eu du mal à en compter autant, car certaines sont très petites : ce n'est pas un solide régulier du tout.
C'aurait pu être un cuboctaèdre (chouette nom, n'est-ce pas ?) mais non, car un cuboctaèdre (je ne me lasse pas, décidément !) est un solide d'Archimède constitué de 8 triangles et 6 carrés.
Ce serait plutôt un je-ne-sais-pas-quoi tronqué, en fait.
En tout cas, devant le solide d'Alexandre, la première chose qui m'a traversé l'esprit est "ce n'est pas un solide de Platon". Et comme j'ai pensé à haute voix, j'explique rapidement à Alexandre et à ses camarades présents à ce moment-là ce qu'est un solide de Platon :
Platon était un philosophe grec, qui a vécu (en gros) entre 430 et 330 avant Jésus Christ. Selon lui, le monde était régi par cinq éléments : le feu, l'air, l'eau, la terre et l'univers. A chaque élément il a fait correspondre un solide, un polyèdre (pas de panique, c'est juste un solide dont les faces sont des polygones) régulier (chaque arête a la même longueur) inscriptible dans une sphère (c'est-à-dire que l'on peut faire "rentrer" le solide dans une sphère de façon que chacun de ses sommets touche la sphère).
Il existe cinq (ni plus, ni moins) solides obéissant à ces conditions :
On les appelle aujourd'hui « Les solides de Platon ».
Platon était tout à fait sûr de lui, mais sa "démonstration" n'en était pas une : il affirmait qu'il n'y avait que cinq polyèdres de ce type car le cosmos ne contient les cinq éléments qu'il avait définis. C'était donc une affirmation, et pas hyper rigoureuse. Il associait le tétraèdre au feu, l'octaèdre à l'air, l'icosaèdre à l'eau, le cube à la terre et le dodécaèdre à l'univers.
Plus tard, autour de 300 avant Jésus Christ, Euclide (encore lui !) a démontré qu'il existe exactement cinq solides de Platon.
Pour nous, en sixième, la période des divisions s'achève : le chapitre est terminé. La période de certains quotients de divisions décimales, elles, ne s'achèveront pas de sitôt, puisque nous avons vu ensemble qu'avec des restes répétitifs, nous étions sûrs que le résultat s'écrirait sous la forme d'un nombre assorti d'une infinité de décimales, mais périodiques.
Alors mes élèves demandé d'où venait la notation "parenthèses" de la période (la même que la dernière des propositions ci-dessous, mais avec des parenthèses à la place des crochets). L'idée de l'élève qui m'en a parlé est que les parenthèses lui évoquent une droite, et qu'une droite est infinie. Elle proposait donc que la notation entre parenthèses se réfère à cette idée d'infini. Bonne idée, mais en fait je n'arrive pas à retrouver cette notation dans mes ouvrages ni sur internet. Pourtant je suis sûre de l'avoir rencontrée... ( Si quelqu'un peut me donner une référence, je serais ravie.) A mon avis, c'est la notation "crochets" qui a été adaptée, car afficher des crochets n'est pas toujours pratique à partir des claviers d'ordinateurs. Et dans ce cas, la bonne idée de mon élève ne fonctionne plus : cette notation est aussi celle du segment. Dommage, cela me plaisait bien !
Nous en avons parlé vendredi en classe, le théorème de Pythagore n'est pas de Pythagore. D'abord, le théorème était connu bien avant, et nous en avons des preuves (j'y viens dans la suite.). Ensuite, rien ne permet d'attribuer à Pythagore de Samos une démonstration du théorème. En revanche, il faut que je rédige un article sur monsieur Pythagore, qui était un sacré zozo tout de même. Mais aujourd'hui, ce n'est pas de cela que je veux parler.
Ce théorème était connu au moins 1 300 ans avant Pythagore, par les Babyloniens. Dans un article du New York Times, on nous explique que cette tablette propose une approximation du nombre racine carrée de 2, en utilisant le théorème de Pythagore dans un carré et en s'intéressant à la longueur de sa diagonale.
Rien ne prouve non plus que les Sumériens ont démontré le théorème. Mais ils en connaissaient au moins des applications.
Il existe d'autres tablettes, dont une encore 200 ans antérieure à celle-ci, et en merveilleux état. Ces objets ont été exposés au Royaume-Unis en 2010 et 2011. Comme j'aimerais les voir !
Bon, ça m'a fait rire, d'un rire tout franc et sans malice. Mais j'ai bien vu que j'avais vexé mon petit élève... Alors j'ai un peu fait le clown, pour que le rire vienne de partout, y compris de lui. J'ai expliqué comme je trouvais le zéro sympa, avec son gros bedon régulier. J'ai raconté
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