Grammaire mathématique

"C'est quoi, au juste, un segment ?"
C'est la question que j'ai posée à mes élèves de sixième, après qu'ils m'ont proposé d'écrire ceci :

Quelques réponses, dans l'ordre où elles m'ont été données :

1. C'est un point qui va à un autre point;
2. C'est un trait droit ;
3. C'est une droite délimitée ;
4. C'est une droite qui rejoint deux points ;
5. C'est une droite qui a un point au début et à la fin ;
6. C'est un morceau de droite qui rejoint deux points ;
7. C'est une portion de droite délimitée par deux points.

Sans explicitation, pas forcément très clair

berk

Plusieurs éléments m'intéressent dans cette liste de propositions. Mais avant tout, accordons-nous sur la définition d'un segment.

• Pour le Larousse, un segment est une partie de droite connexe et limitée par deux points appelés extrémités. Ah, "connexe", mot inconnu pour un enfant de sixième. Connexe, toujours dans le Larousse, "Se dit d'un espace topologique dont on ne peut pas faire une bipartition à l'aide de deux ouverts non vides ; se dit d'une partie A d'un espace topologique E qui est un espace topologique connexe pour la topologie induite sur A par celle de E." Pas sûr que mes élèves s'approprient cette définition ;
• Pour wikipedia, "en géométrie, un segment est une portion de droite délimitée par deux points, appelés extrémités du segment." Beaucoup plus accessible à mes élèves ;
• L'internaute nous dit " Partie d'une droite située entre deux points".

La définition du Larousse est difficile, mais les deux autres sont facilement intelligibles.

Revenons maintenant à mes loulous de sixième.

En premier lieu, ce qui me frappe, c'est la progression dans leurs énoncés. J'ai écouté sans rien manifester, ni oui, ni non. Les élèves sont partis d'une proposition très imagée, avec le "point qui va à un autre point", qui renvoie à la manipulation : l'élève s'imagine qu'il trace. Son crayon se pose sur une des extrémités du segment, et trace jusqu'au point d'arrêt. La deuxième proposition, encore hors langage mathématique, parle du "trait" : il y a toujours l'idée de manipulation derrière, mais le déplacement renvoie à son résultat. L'élève y adjoint l'adjectif "droit", parce qu'il tient à la référence à la règle, sans doute.

C'est certainement l'irruption de cet adjectif, "droit", qui déclenche la suite : un "trait droit" renvoie à une "droite". Ca y est, on entre dans le lexique disciplinaire des mathématiques. On commence par "délimiter" la droite. Mais cela titille d'autres élèves : "une droite, madame, c'est infini !", et il faut donc encore améliorer l'énoncé. Deux tentatives sont de l'ordre de la reformulation proche, avec la droite qui rejoint deux points et la droite qui a un point au début et à la fin. De mon côté, je ne manifeste toujours aucune approbation ni désaccord, mais une élève exprime sa frustration : "c'est pareil, c'est toujours pas possible !". Alors, troisième niveau d'expression, on va chercher un mot qui contourne la contradiction : morceau ou portion. "Portion" arrive après "morceau", comme la cerise sur le gâteau : on reprend l'idée du morceau en affinant le vocabulaire, et plutôt que "rejoint", on va rechercher le "délimité" précédemment cité.

C'est vraiment une progression intéressante, et qui a été spontanée chez les élèves. Je leur ai dit "Je note vos propositions, ça m'intéresse de me souvenir de vos étapes pour définir un segment", et cela les a motivés pour aboutir à une définition qui les convainquent et dont ils pensent, à raison, qu'elle me satisferait.

Ensuite, cela mène forcément à une réflexion professionnelle : faut-il insister ou non sur ce genre de choses ? Est-il important pour les élèves de savoir ce qu'est un segment ?
Il me semble que oui. Au départ, j'ai abordé cette question à cause de la proposition :

Si un élève de sixième écrit ceci dans une copie, je vais corriger, lui rappeler que son affirmation s'écrit AE = 3,2 cm, mais je ne vais pas sanctionner en terme d'évaluation. Mais écrire avec ou sans crochet, cela renvoie à des objets mathématiques fort différents : le segment et la longueur, un ensemble de points vs un nombre. Du point de vue de l'image mentale, ce n'est pas pareil du tout.
Alors c'est peut-être du pipi de chat, mais peut-être pas. Communiquer exige de la précision, et cette précision participe au sens. Alors mes élèves peuvent retenir par coeur que quand on écrit "= 3,2 cm" il ne faut pas "mettre de crochets", bien sûr, mais je préfèrerais qu'ils comprennent qu'écrire qu'un segment est égal à un nombre n'a pas de sens. Je rapproche ce type d'erreur à certaines erreurs d'orthographe-syntaxe, du type "Ont a bien mangé" ou "On à bien mangé", qui me laissent toujours perplexe sur le sens attribué à la phrase pour son auteur.

Mais bon, j'aime bien la grammaire et couper les cheveux en quatre. Et l'harmonie que je perçois quand une assertion est écrite avec rigueur et justesse.

Ecrire ou courir, il faut choisir. Mais j'ai pas le temps de choisir.

J'ai reçu quelques messages, sympathiques mais un peu inquiets : j'écrivais très régulièrement les années passées, sur ce blog, et là mes articles se raréfient. C'est vrai, j'en arrive parfois à n'écrire qu'une fois par semaine. Pourtant, ce ne sont pas les idées qui me manquent, ni l'envie d'écrire ! Mais voilà : je me suis engagée dans quelques projets passionnants et lourds qui m'ont mangé à peu près tout mon temps depuis la mi-août.
Cela devrait aller un peu mieux dans les semaines à venir. J'aurai donc peut-être le loisir de revenir davantage ici. J'espère, car écrire me permet de réfléchir, de prendre de la distance, et de recevoir des tas de messages de collègues qui me font évoluer. En ce moment, j'ai l'impression d'agir en permanence dans l'urgence, ce qui me correspond mal : je n'ai même plus l'illusion de maîtriser quoi que ce soit. Et pourtant, tout continue d'avancer comme il faut.
Bref, pas d'inquiétude, tout va bien.

Parole, parole, parole

Aujourd'hui, j'ai suivi une journée de formation sur la parole de l'élève : comment favoriser la prise de parole de l'élève en développant ses apprentissages ? C'était une journée vraiment intéressante, avec plusieurs interventions qui m'ont enrichie. En particulier, deux chefs d'établissement de l'agglomération sont intervenus, sur "la difficulté à favoriser une identité langagière, une parole de l’élève, un apprentissage de la citoyenneté en dehors de la classe".

Voici ce que je retiens de cette intervention. Ce que je rapporte est mon interprétation, et non une transcription fidèle de ce que j'ai entendu.

Les enjeux sont de taille. Donner la parole aux élèves en dehors de la classe a de multiples vertus, formatrices pour le jeune : valoriser et favoriser la transmission républicaine, replacer l’école comme un lieu d’apprentissage, travailler sur les représentations, permettre la construction citoyenne dans des interactions maîtrisées. Et puis cela fait partie de nos missions, à nous adultes du milieu éducatif.

L'état des lieux est assez alarmant. La volonté de l’institution de favoriser la parole de l’élève très différente des réalités du terrain. Même dans les instances scolaires qui prévoient la présence d’élèves, leur parole est difficilement reconnue. L’élève est confronté à diverses difficultés : il a peu de temps pour préparer sa prise de parole, or le rapport au temps des élèves (qui sont dans l’immédiateté) est très différent du temps de l’institution (qui suppose qu’on prenne du recul, qu’on se projette). Prendre la parole devant des adultes est souvent difficile pour un jeune. Et quand il y a des interventions spontanées, elles ne sont pas vraiment spontanées : la prise de parole a été formatée avant par un adulte, travaillée avant qu’elle ne s’exprime. Au final les adultes parlent à la place des élèves ; l’élève est renvoyé à son métier d’élève, à une attitude de soumission et de passivité qui s’oppose à la véritable démarche éducative, et qu'il endosse avec une facilité apparente plutôt angoissante. Enfin, le regard des autres membres de la communauté scolaire complique la libération de cette parole : les adultes ne comprennent pas la discrétion des élèves et des tensions entre pairs musèlent les élèves. Les élèves s’auto-censurent souvent. Frustrés par la quasi-impossibilité d’aborder la question de la vie en classe, ils adoptent un rôle, une posture « syndicale » qui vise essentiellement à améliorer leurs conditions de vie (les toilettes, la cantine, etc.).

En fait, il apparaît que la parole est contrôlée par l’institution : on développe à l’école une démocratie représentative et non participative. Et si la participation est plus sociale que politique, est-elle donc bien utile ? C’est toute la question de notre démocratie scolaire qui est posée : cherche-t-on juste à maintenir la paix sociale, ou à faire grandir, à permettre à ces jeunes de devenir des adultes responsables et citoyens ? D'ailleurs, à plus grande échelle, la question se pose de notre démocratie, tout court : le fonctionnement scolaire ne peut se concevoir que dans un tout, et la question est aussi politique.

Mais alors, comment faire ? En travaillant, jour après jour, au climat scolaire. En profitant de toutes les occasions, y compris par des rencontres inopinées, qui vont permettre que la parole s’exprime mais aussi de travailler sur cette parole. Et là, le rôle du chef d'établissement est fondamental. Nos intervenants ont rappelé la nécessité de l’exemplarité des personnels de direction, par leur qualité d’écoute, leur respect, vers les adultes comme vers les élèves. Par leur posture, par l'exemple, par les choix de fonctionnement, les chefs donnent la couleur et agissent sur le comportement des adultes et des élèves. C'est un travail de longue haleine. Les chefs présents ont proposé de faire vivre autrement, vraiment, la charte de la laïcité, de bâtir de vrais projets d’école, d’établissement, académiques, de mettre à profit le parcours citoyen, les EPI. Ils ont aussi abordé les conseils de classe, souvent aussi normés qu'inutiles, et pendant lesquels personne ne s'exprime vraiment.

Libérer la parole de l’élève nécessite d’accorder de la confiance et de laisser une place pour chacun. Donc de s'impliquer, d'être conscient des objectifs, des enjeux. Pas facile, mais nécessaire, aujourd'hui plus encore qu'hier.

Les nombres et les autres

Lundi, en sixième, nous avons résolu et discuté d'une activité qui permettait de découvrir la numération égyptienne, romaine, babylonienne et maya. Nous nous sommes intéressés aux deux premières, sur cette séance.
Nous avons dressé une liste des avantages et des inconvénients de chacune de ces deux numérations. Je vous livre les propositions des mes élèves : à leurs yeux, la numération égyptienne a pour avantage d'être jolie, d'être rigolote, de ne pas nécessité d'ordonner les symboles, d'utiliser seulement neuf symboles, de se lire en additionnant, de ne pas être positionnelle mais sommative (un élève m'a dit ça, comme ça). Et comme inconvénients d'être longue à transcrire, de ne pas permettre de représenter facilement les très grands nombres, de nécessité des talents de dessinateur.
La numération romaine a pour avantage de n'utiliser que sept symboles, de disposer de symboles faciles à réaliser, d'être plus courte. Mais comme inconvénients d'obliger à réfléchir et à effectuer des additions et des soustractions, d'être moche (et paf, dans la tête), de ne pas permettre de représenter les grands nombres facilement, de ne pas être lisible intuitivement, et, argument qui m'a frappée, de pouvoir être confondue avec des lettres :
Prof : " Etre confondue avec les lettres I, X, C, tout ça ? C'est ce que tu veux dire ? "
Elève : " Ben oui : si je vois écrit DIX, par exemple, ça peut être "dix" ou alors ça fait 59 ! Comment on est censé deviner ? Un coup c'est des chiffres, un coup c'est des lettres, et pourtant c'est pareil ! Moi je trouve ça flippant. "
Prof : " Ah oui il est bien choisi, ton exemple. J'aime bien cet argument, tu vois, du coup. "
Elève : " En fait c'est parce que quand j'étais petit j'ai dit un jour "Louis xi" au lieu de "Louis XI" et j'ai eu trop la honte comment tout le monde s'est moqué. Mais c'était pas ma faute, comment j'étais censé savoir ? "

Plus tard, des élèves reviennent à la charge sur ce thème :
Elève : " Madame, pourquoi en histoire on utilise encore des nombres romains alors que c'est moins pratique ? "
Prof : " Qu'en pensez-vous, tous ? Que pourrait-on répondre à votre camarade ? "
Elève 1 : " C'est parce que les historiens ils savent compter que comme ça ? "
Elève 2 : " Ou parce que ils aiment bien les trucs vieux ? "
Elève 3 : " Ou alors c'est parce qu'ils sont pas forts en maths, ils savent pas faire avec les positions des chiffres, ils préfèrent compter. "
Elève 4 : " Peut-être ils trouvent ça fait plus classe."

Un anti "tomates-hors-sol" énergisant

Dans Libé, un article collectif propose d'envisager l'apparition de la programmation dans les programmes scolaires de façon positive. C'est tout à fait revigorant, et tellement à contre-pied de la ronchonnite habituelle ! L'article s'intéresse surtout à l'école primaire et se donne pour objectif de ne pas s'en tenir aux clichés, et développe en plusieurs points :

• Programmer ne remise pas les objectifs d'apprentissage de lecture et d'écriture : "programmer, c’est lire, écrire et compter, et ça ne se fera pas en substitution de l’orthographe, du latin ou du grec ! Coder est une pratique qui suppose l’absence complète d’erreurs de frappe ou de logique."  Et aussi de la persévérance, d'apprendre à travailler sur l'erreur, de l'autonomie, des travaux en démarche de projet, etc.

• Coder n'est pas jouer ! "C’est parfois créer des jeux (et plein d’autres choses encore) mais cela se fait souvent collectivement. On est très loin des clichés du geek solitaire ou du «no life» immergé dans les jeux vidéo, coupé de toute vie sociale." Une tablette est peut-être un "doudou" pour certains enfants, mais comme la télé l'a été pendant des années auparavant. Tout dépend de ce que le milieu familial en fait, et de ce que l'école suggère. Une tablette peut aussi être un formidable outil d'apprentissage et de communication.

• Quels logiciels ? "Les ressources pour les apprendre existent en français, certaines sont libres et gratuites. Beaucoup de ces outils ont été financés par le Programme investissements d’avenir (PIA) du gouvernement français, ou sont le fruit de l’économie française ou européenne. Il ne s’agit pas d’enfermer le consommateur dans l’usage de tel ou tel produit commercial, mais de respecter ses données individuelles. Il n’appartient qu’aux acteurs éducatifs de les porter et de les accompagner."

• Coder pour comprendre le monde : "Savoir comment «pensent» et «agissent» les ordinateurs, tablettes et autres téléphones, ce n’est pas devenir développeur ! Par cette initiation, l’école ne s’ouvre pas à des métiers mais à une citoyenneté qui prend en compte le numérique et sa place grandissante dans nos vies et nos sociétés." D'ailleurs, on n'apprend pas le français pour devenir forcément écrivain, ni les maths pour devenir médaille Fields...

• Coder n'est pas une activité seulement scientifique : "la logique mathématique est au cœur de la pensée informatique, mais les langages de programmation sont également des langues qui peuvent être enseignées comme telles, avec leur syntaxe et leur grammaire. Les productions numériques constituent autant d’espaces de valorisation de la créativité et des capacités d’expression de chacun." 

• Coder, une activité pour tous : "Bonne nouvelle, tout le monde va y avoir accès et notamment les filles et les jeunes femmes qui restent trop rares dans les écoles d’ingénieurs et les écoles spécialisées. C’est vrai que ça va prendre du temps pour se répandre partout mais, maintenant, c’est dans les programmes, les enseignants sont en cours de formation donc tout le monde va y avoir droit." Coder peut aussi contribuer à la lutte contre le décrochage scolaire. Emparons-nous de cet outil, progressivement, avec en tête le souci du développement de l'enfant. Tout dépend de nous !

Merci à tous les auteurs de cet article (Frédéric Bardeau Président de Simplon.co , Claude Terosier Fondatrice de Magic Makers , Nadia Bellaoui Secrétaire générale de la Ligue de l'enseignement , Jérémy Lachal Directeur général de Bibliothèques sans frontières , Deborah Elalouf Présidente de Tralalere , Benoît Prady Directeur de l'association Colombbus , Colin de la Higuera Université de Nantes, pour INRIA).Vraiment, ça fait du bien !

Juste deux heures de cours

• " Madame, les années bissextiles, la Terre elle tourne plus lentement autour du soleil, alors ? "
• " Mais madame, comment on est sûr que pi il a une infinité de décimales ? " 
• " Pourquoi les nombres qu'on ne connaît pas on les appelle x ? "
• " Mais madame, pi, je peux le voir en vrai, je veux dire, physiquement ? "
• " Mais madame, comment c'est possible qu'on puisse voir un cercle qui fait pile pi de périmètre et que pi soit infini ??? "
• " Madame, c'est vrai que vous avez des pansements coccinelle ? Je suis tombée à la récré..."
• " Pourquoi 45 c'est plus près de 50 ??? En vrai c'est au milieu ! "
• " Pi fois diamètre et pi fois rayon fois rayon c'est pareil, pourquoi y en a un que c'est le périmètre et l'autre l'aire ??? C'est pas possible ! "
• " Vous les avez eu où, vos punaises canard, elles sont trop cool ! "
• " Je peux avoir vingt fiches facultatives ? "  "Et moi je peux ? " " Et moi aussi ? "
• " C'est déjà fini ?! "

Oui... C'est DEJA fini. Pfiouuuuuuuuu... Mais la journée, elle, elle n'est pas du tout finie !

La géométrie, ça se mange (parfois)

Sur le blog Curiosités de Titam, on peut découvrir le travail de la pâtissière ukrainienne Dinara Kasko. Cette jeune femme, après des études d'architecture, s'est lancée dans la création de desserts géométrico-architecturaux. J'ignore s'ils sont bons, mais le visuel est impressionnant ! Ma préférence va au cône tronqué, sans doute pas le plus spectaculaire, mais je le trouve magnifique.