Alexandre et Platon

Un de mes élèves m'a apporté cette semaine une pierre. Comme nous avions travaillé sur les solides il y a peu, il l'avait considérée différemment et avait compté 14 faces. J'ai eu du mal à en compter autant, car certaines sont très petites : ce n'est pas un solide régulier du tout.


 C'aurait pu être un cuboctaèdre (chouette nom, n'est-ce pas ?) mais non, car un cuboctaèdre (je ne me lasse pas, décidément !) est un solide d'Archimède constitué de 8 triangles et 6 carrés.
Ce serait plutôt un je-ne-sais-pas-quoi tronqué, en fait.

En tout cas, devant le solide d'Alexandre, la première chose qui m'a traversé l'esprit est "ce n'est pas un solide de Platon". Et comme j'ai pensé à haute voix, j'explique rapidement à Alexandre et à ses camarades présents à ce moment-là ce qu'est un solide de Platon :

Platon était un philosophe grec, qui a vécu (en gros) entre 430 et 330 avant Jésus Christ. Selon lui, le monde était régi par cinq éléments : le feu, l'air, l'eau, la terre et l'univers. A chaque élément il a fait correspondre un solide, un polyèdre (pas de panique, c'est juste un solide dont les faces sont des polygones) régulier (chaque arête a la même longueur) inscriptible dans une sphère (c'est-à-dire que l'on peut faire "rentrer" le solide dans une sphère de façon que chacun de ses sommets touche la sphère).
Il existe cinq (ni plus, ni moins) solides obéissant à ces conditions :

On les appelle aujourd'hui « Les solides de Platon ».

Platon était tout à fait sûr de lui, mais sa "démonstration" n'en était pas une : il affirmait qu'il n'y avait que cinq polyèdres de ce type car le cosmos ne contient les cinq éléments qu'il avait définis. C'était donc une affirmation, et pas hyper rigoureuse. Il associait le tétraèdre au feu, l'octaèdre à l'air, l'icosaèdre à l'eau, le cube à la terre et le dodécaèdre à l'univers.

Plus tard, autour de 300 avant Jésus Christ, Euclide (encore lui !) a démontré qu'il existe exactement cinq solides de Platon.

Une démonstration est ici, une autre là.