Le miel, les fonds marins et le fil d'araignée

Un article du Monde.fr du 10 avril 2015 aborde une application des mathématiques dont j'ai parlé à mes cinquièmes il y a une semaine : le miel et les tartines. Une élève, qui a un caractère bien affirmé, réfléchit avec efficacité et qui veut comprendre, m'avait demandé si j'avais un exemple précis de sujet de recherche mathématique lancé "pour la plaisir", par curiosité scientifique, et qui aurait eu une application concrète. Ce qui m'est venu, c'est le miel sur les tartines. C'est dans le film "Comment j'ai détesté les maths" que j'ai découvert cela. Le jeune chercheur qui exposait ses travaux avait été contacté pour les appliquer à la pose de câbles sous-marins.

Lorsqu'on laisse couler du miel liquide sur une tartine, en déplaçant la tartine ou le flacon de miel, le filet dessine des points, des ronds ou des huit. Pourquoi ? La question est légitime et je m'étais étonnée de ne pas m'en être étonnée plus tôt.

" « Ce qui manquait était une compréhension “simple” du phénomène. Ce qui est différent de faire des mesures ou de réussir à résoudre des équations. Nous y sommes parvenus », estime Pierre-Thomas Brun, actuellement au Massachusetts Institute of Technology (MIT).
La clé ? La vitesse du fluide au contact de la tartine

Le modèle balaie des paramètres comme la viscosité du fluide, le diamètre de l’écoulement, la hauteur de chute… pour ne retenir que la vitesse du fluide au contact du tapis (qui dépend en fait de tous ces paramètres) et celle de la « tartine ».

Fixons la vitesse d’écoulement. Lorsque le tapis est arrêté, un rond se forme. Puis lorsqu’il démarre, le rond se « déplie » et forme des ressorts. En augmentant la vitesse, des boucles apparaissent, alternant de part et d’autre d’une ligne droite. Toujours plus vite, des vaguelettes se forment. Et enfin, plus précisément lorsque les deux vitesses deviennent égales, un trait droit strie le tapis. Parfois, entre les boucles alternées et les vagues, apparaît le W. Mais ce n’est jamais le cas si on fait l’expérience en partant d’une grande vitesse du tapis, puis qu’on la diminue. « Le fluide se retrouve un peu comme un coureur imaginaire sur un tapis de course. S’il court à la même vitesse que le tapis, ça va. Mais si le tapis devient très lent et que lui garde sa vitesse, il va devoir zigzaguer pour éviter la chute », justifie Pierre-Thomas Brun. Le motif en ressort correspond ainsi au maximum de circonvolution possible. "

Cette fois, les applications concernent les propriétés (comme la rigidité) de filaments très fins, et permettent peut-être d'expliquer la solidité du fil d'araignée.