Pi passe sur le billard

Le mathématicien qui présente cette vidéo (c'est encore Numberphile) commence par expliquer son protocole et la question posée : on dispose d'une boule de masse M et une plus petite boule de masse m (M est supérieure à m), posées sur une table de billard. M et m ne sont pas choisies n'importe comment : M peut valoir 16 fois celle de m, ou 1600 fois celle de m, ou 160000 fois celle de m, etc. Autrement dit, 16 suivi d'un nombre pair de zéros fois la masse de m, ce qui peut s'écrire :

où le nombre N est un entier positif. Ca peut vous paraître compliqué mais ne décrochez pas, car franchement la suite en vaut la peine, c'est complètement dingue.

La plus grosse boule est lancée et va entrer en collision élastique avec la plus petite boule, la mettant donc en mouvement. La petite boule se déplace jusqu'à heurter une des bandes de la table de billard, de façon élastique également. La petite boule repart dans l'autre sens et heurte à nouveau la grosse boule, et ainsi de suite. La question est : combien faut-il de chocs pour que la grosse boule reparte en sens inverse ?

La réponse est assez remarquable : il en faut un nombre donné par les N+1 premiers chiffres de l'écriture de pi. Si la grosse boule pèse 16 fois plus que la petite, il faut 3 collisions, car le chiffre des unités de pi est 3. Si elle pèse 1600 fois plus, il faudra 31 chocs (dans 1600, il y a une fois deux zéros, on garde donc 1+1 chiffres de pi, soit le 3 des unités et le 1 des dixièmes).

On voit ici que si la grosse boule pèse 160000000000 fois plus que la petite, soit 16x10000000000, soit 16x100x100x100x100x100,  on a cinq multiplications par 100, ce qui signifie qu'on gardera les 5+1 (ça fait 6, oui oui) premiers chiffres de pi ; comme pi commence ainsi :

on aura donc 314159 collisions.

C'est extraordinaire. Cerise sur le gâteau, la suite de la vidéo explique de façon claire pourquoi pi et ses décimales pointent leur nez là-dedans. J'ai raconté ça à tout le monde chez moi tellement c'est chouette comme résultat.